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原书的序1

第一部分 单变量函数的微分学1

《俄罗斯数学教材选译》序1

第一章 引论3

第一讲3

§1．集合．集合的运算．集合的笛卡儿乘积．映射和函数3

第二讲9

§2．对等的集合．可数集和不可数集．连续统的势9

§3．实数13

第三讲13

第四讲19

§4．实数集的完备性19

§5．关于集合的分离性的引理，关于嵌套闭区间系的引理以及关于收缩闭区间序列的引理22

第二章　数列的极限24

第五讲24

§1．数学归纳法、牛顿二项式以及伯努利不等式24

§2．数列、无穷小数列和无穷大数列及其性质27

§3．数列的极限30

第六讲30

§4．不等式中的极限过程33

第七讲35

§5．单调数列．魏尔斯特拉斯定理．数“e”和欧拉常数35

第八讲41

§6．关于有界数列存在部分极限的波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理41

§7．数列收敛的柯西准则42

第九讲45

§1．数值函数的极限的概念45

第三章 函数在一点处的极限45

§2．集合基．函数沿着基的极限47

第十讲52

§3．在不等式中取极限52

§4．函数沿着基存在极限的柯西准则53

第十一讲55

§5．柯西的收敛定义与海涅的收敛定义的等价性55

§6．关于复合函数的极限的定理56

§7．无穷小函数的阶59

第十二讲61

§1．在一点处连续的函数的性质61

第四章 函数在一点处的连续性61

§2．初等函数的连续性63

第十三讲65

§3．重要的极限65

§4．函数在集合上的连续性67

第十四讲73

§5．闭区间上的连续函数的一般性质73

第十五讲75

§6．一致连续的概念75

§7．闭集和开集的性质．紧致性．紧致集上的连续函数76

第五章　单变量函数的微分80

第十六讲80

§1．函数的增量．函数的微分和导数80

第十七讲84

§2．复合函数的微分84

§3．微分法则86

第十八讲89

§4．高阶导数和高阶微分89

§5．函数在一点处的增与减93

§6．罗尔定理，柯西定理以及拉格朗日定理94

第十九讲94

第二十讲98

§7．拉格朗日定理的推论98

§8．一些不等式99

§9．以参数形式给出的函数的导数100

第二十一讲101

§10．不定式的展开101

第二十二讲106

§11．局部泰勒公式106

§12．带有一般型余项的泰勒公式110

第二十三讲112

§13．泰勒公式对于某些函数的应用112

第二十四讲115

§14．借助于导数研究函数．极值点．凸性115

第二十五讲120

§15．拐点120

第二十六讲124

§16．插值124

§17．割线法和切线法（牛顿法）．快速计算126

第二十七讲126

第六章　不定积分131

第二十八讲131

§1．真实原函数．可积函数131

第二十九讲133

§2．不定积分的性质133

第三十讲137

补充．按海涅方式的极限概念向沿集合基收敛的函数的推广137

第二部分 黎曼积分．多变量函数的微分学143

§1．引言145

第一讲145

第七章　定积分145

§2．黎曼积分的定义146

第二讲150

§3．黎曼可积的准则150

第三讲154

§4．函数黎曼可积的三个条件的等价性154

§5．函数黎曼可积的特殊准则156

§6．积分和方法158

§7．黎曼积分作为沿着基的极限的性质161

第四讲161

§8．黎曼可积函数类165

第五讲167

§9．定积分的性质167

§10．黎曼积分的可加性171

第八章　黎曼积分理论的基本定理173

第六讲173

§1．黎曼积分作为其积分上限（下限）的函数．积分的导数173

§2．牛顿-莱布尼茨定理174

§3．定积分的变量变换公式与分部积分公式177

第七讲177

§4．关于积分中间值的第一定理和第二定理178

第八讲183

§5．带有积分形式余项的泰勒公式183

§6．包含积分的不等式188

第九讲189

§7．函数黎曼可积的勒贝格准则189

§8．勒贝格准则的证明191

§1．第一类和第二类反常积分的定义194

第九章　反常积分194

第十讲194

§2．反常积分收敛的柯西准则和收敛的充分条件196

§3．反常积分的绝对收敛和条件收敛．阿贝尔判别法和狄利克雷判别法196

第十一讲198

§4．第二类反常积分198

§5．反常积分的变量变换及分部积分200

第十章 曲线的长度202

第十二讲202

§1．多维空间中的曲线202

§2．关于曲线长度的定理203

第十一章　若尔当测度207

第十三讲207

§1．平面图形的面积和立体的体积．若尔当测度的定义207

§2．集合的若尔当可测准则209

第十四讲211

§3．若尔当测度的性质211

§4．可求长曲线的可测性213

§5．函数的黎曼可积性与它所成的曲边梯形的若尔当可测性之间的关系214

§1．勒贝格测度的定义和性质217

第十二章 勒贝格测度论与勒贝格积分论初步．斯蒂尔切斯积分217

第十五讲217

第十六讲222

§2．勒贝格积分222

第十七讲226

§3．斯蒂尔切斯积分226

第十三章 一般拓扑学的某些概念．度量空间234

第十八讲234

§1．空间的定义及基本性质234

§2．度量空间在自然拓扑之下的豪斯多夫性质239

第十九讲239

§3．度量空间中集合的内点、外点和边界点240

§4．关于收缩球序列的引理．压缩映射原理242

第二十讲243

§5．度量空间的连续映射243

§6．紧集的概念．Rn中的紧集及空间Rn的完备性．紧集上的连续函数的性质244

§7．连通集及连续性247

§1．Rn上的连续函数248

第二十一讲248

第十四章 多变量函数的微分学248

§2．Rn上的可微函数250

第二十二讲253

§3．复合函数的微分法253

§4．方向导数．梯度254

§5．微分的几何意义255

第二十三讲256

§6．高阶偏导数256

§7．高阶微分．泰勒公式258

第二十四讲261

§8．泰勒公式的应用．多变量函数的局部极值261

§9．隐函数263

第二十五讲267

§10．隐函数组267

§11．多变量函数的条件极值271

§12．可微映射．雅可比矩阵273

第三部分 函数级数与参变积分275

§1．收敛级数的基本性质．柯西准则277

第一讲277

第十五章　数值级数277

第二讲283

§2．非负项级数283

第三讲287

§3．非负项级数收敛的基本判别法287

第四讲293

§4．级数的绝对收敛和条件收敛．莱布尼茨级数293

§5．阿贝尔判别法和狄利克雷判别法295

§6．级数的项的重排297

第五讲297

第六讲299

§7．对于收敛数列的算术运算299

第七讲303

§8．二重级数和累次级数303

第十六章 函数序列与函数级数309

第八讲309

§1．函数级数之收敛309

§2．一致收敛312

§3．函数序列一致收敛的准则314

第九讲314

§4．一致收敛判别法316

第十讲319

§5．迪尼定理319

§6．级数的逐项微分和逐项积分320

第十一讲324

§7．沿集合基的二重极限与累次极限324

第十二讲327

§8．幂级数327

§9．无穷乘积331

第十三讲331

第十四讲335

§10．无穷行列式335

§11．等度连续及阿尔泽拉定理338

第十七章　依赖于参数的积分340

第十五讲340

§1．正常参变积分及其连续性340

§2．正常参变积分的微分和积分342

§3．拉格朗日定理346

第十六讲346

第十七讲348

§4．按海涅意义的一致收敛348

§5．一致收敛的两个定义的等价性349

第十八讲352

§6．反常参变积分之一致收敛352

第十九讲355

§7．反常积分关于参数的连续性，可微性和可积性355

§8．第二类反常积分360

第二十讲360

§9．参变积分理论的应用361

第二十一讲363

§10．第一类和第二类欧拉积分363

第二十二讲368

§11．斯特林公式368

第十八章　傅里叶级数和傅里叶积分372

第二十三讲372

§1．用三角级数表示实数的小数部分．泊松求和公式．高斯和372

§2．贝塞尔不等式．正交函数系的封闭性与完全性380

第二十四讲380

第二十五讲384

§3．三角函数系的封闭性384

§4．三角傅里叶级数的最简单的性质388

第二十六讲391

§5．傅里叶级数部分和的积分表示黎曼局部化原理391

§6．傅里叶级数的点态收敛判别法395

第二十七讲398

§7．傅里叶系数的性状398

§8．余切函数之展开成最简分式以及正弦函数之表示为无穷乘积400

§9．开普勒问题和贝塞尔级数402

第二十八讲404

§10．费耶核与魏尔斯特拉斯逼近定理404

§11．狄利克雷积分与最简分式展开407

第二十九讲410

§12．傅里叶变换与傅里叶积分410

第三十讲419

§13．拉普拉斯方法和稳态相方法419

第四部分 多重黎曼积分、曲面积分　　425

§1．二重黎曼积分作为沿着基的极限427

第十九章 多重积分427

第一讲427

§2．达布和及其性质430

第二讲431

§3．矩形上的函数可积的黎曼准则431

§4．矩形上的函数可积的特殊准则434

第三讲436

§5．曲面柱形的若尔当可测性436

§6．沿有界的若尔当可测区域的二重黎曼积分的概念438

§7．二重积分的基本性质440

第四讲440

§8．二重积分转化为累次积分442

§9．可测集上的连续函数的可积性443

第五讲444

§10．多重积分444

§11．凸集上的光滑映射的性质448

第六讲450

§12．在曲纹坐标中的区域的体积．关于多重积分的变量变换的定理450

§13．勒贝格准则456

第七讲456

第八讲460

§14．反常重积分460

第九讲465

§15．曲面的面积465

§16．在n维欧几里得空间中的m维曲面的面积469

第二十章 曲面积分472

第十讲472

§1．曲线积分472

§2．曲线积分的性质473

第十一讲477

§3．沿闭围道的第二型曲线积分．格林公式477

第十二讲480

§4．曲面积分480

§5．曲面的定向与它的边界的方向的匹配484

第十三讲486

§6．斯托克斯公式486

§7．高斯-奥斯特洛格拉德斯基公式488

§8．仅依赖于其积分限的曲线积分492

第十四讲492

§9．向量分析初步495

第十五讲500

§10．位势向量场和无源向量场500

第二十一章　一般的斯托克斯公式504

第十六讲504

§1．定向多维曲面的概念504

§2．在一般情况下曲面与其边界的定向的匹配505

§4．微分形式中的变量变换507

§3．微分形式507

第十七讲509

§5．微分形式的积分509

§6．外微分的运算511

§7．一般斯托克斯公式的证明513

第十八讲516

§8．一致分布的概念．估计傅里叶系数的一个引理516

§9．外尔准则519

用于讨论班和考试的示范性问题和习题527

参考文献539

名词索引541