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第1章 线性方程组1

1.1 三元线性方程组的消元法1

1.1.1 消元法及等价变形1

1.1.2 矩阵的初等变换4

1.2 线性方程组与矩阵5

1.2.1 基本概念5

1.2.2 解的存在、惟一性问题6

1.2.3 矩阵的阶梯形与行最简形8

1.2.4 主元位置、主元列、主元9

1.2.5 线性方程组的通解12

1.3 矩阵的秩及方程组解的判别15

1.3.1 矩阵秩的概念15

1.3.2 矩阵的秩与线性方程组的解16

习题118

第2章 矩阵及其运算21

2.1 一些特殊形状的矩阵21

2.2 矩阵的基本运算22

2.2.1 矩阵的加法23

2.2.2 数乘23

2.2.3 乘法24

2.2.4 矩阵的乘幂27

2.2.5 矩阵的迹27

2.2.6 转置27

2.3 分块矩阵及运算28

2.3.1 加法与数乘29

2.3.2 分块转置29

2.3.3 矩阵的分块乘法30

2.3.4 矩阵分析中一些常用的分块法32

2.4 逆矩阵34

2.4.1 概念34

2.4.2 可逆矩阵的性质35

2.4.3 初等矩阵36

2.5 方阵的行列式41

2.5.1 基本概念42

2.5.2 行列式的性质44

2.5.3 行列式函数的线性性质47

2.5.4 伴随矩阵、克拉默法则51

2.6 矩阵的分解55

2.6.1 LU分解55

2.6.2 LU分解算法56

习题259

第3章 向量空间67

3.1 基本概念67

3.1.1 向量及其线性组合67

3.1.2 向量空间、子空间72

3.2 线性相关、线性无关75

3.2.1 概念75

3.2.2 性质76

3.2.3 向量组的秩79

3.2.4 矩阵的行秩、列秩82

3.2.5 矩阵秩的等价定义85

3.3 向量空间的基与维数、坐标系、过渡矩阵87

3.3.1 基与维数87

3.3.2 坐标系、过渡矩阵91

3.4 矩阵的零空间、列空间线性方程组的结构97

3.4.1 零空间97

3.4.2 列空间99

3.4.3 线性方程组的结构与秩定理102

3.5 向量的内积 正交阵106

3.5.1 内积与正交106

3.5.2 正交投影与最小二乘问题110

3.5.3 正交化方法115

3.5.4 正交矩阵117

3.5.5 矩阵的OR分解118

3.6 线性差分方程121

习题3123

第4章 特征值与特征向量133

4.1 特征值问题引入133

4.2 特征值与特征向量134

4.2.1 概念134

4.2.2 特征子空间141

4.2.3 特征值、特征向量的应用143

4.3 矩阵的相似对角化146

4.3.1 相似矩阵146

4.3.2 对角化定理148

4.4 特征值的估计与数值计算153

4.4.1 幂法153

4.4.2 反幂法158

习题4161

第5章 实对称矩阵与二次型164

5.1 实对称矩阵的对角化164

5.1.1 实对称矩阵的特征值、特征向量164

5.1.2 谱分解168

5.2 二次型及标准形170

5.2.1 概念170

5.2.2 合同171

5.2.3 化二次型为标准形172

5.2.4 惯性定理176

5.3 正定二次型与正定矩阵179

5.3.1 基本概念179

5.3.2 正定二次型与正定矩阵的判定180

5.4 矩阵的奇异值分解186

习题5191

单数习题参考答案193

附录208

参考书目209