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第1章 矩阵的标准形1

1.1矩阵的相似对角形1

1.1.1特征值与特征向量1

1.1.2特征值与特征向量的性质1

1.1.3矩阵的对角化4

1.2λ矩阵及标准形、不变因子和初等因子5

1.2.1 λ矩阵的概念6

1.2.2 λ矩阵的Smith标准形、不变因子和行列式因子9

1.2.3初等因子12

1.3 Jordan标准形13

1.3.1矩阵相似的条件13

1.3.2 矩阵的Jordan标准形14

1.3.3 Jordan标准形的应用19

1.4化零多项式23

1.4.1 Hamilton-Cayley定理23

1.4.2最小多项式25

1.5酉空间与酉矩阵27

1.5.1酉空间27

1.5.2酉矩阵30

1.6酉相似标准形30

1.6.1正规矩阵30

1.6.2正定矩阵34

习题36

第2章向量范数与矩阵范数40

2.1向量范数40

2.1.1向量范数的定义40

2.1.2向量范数的性质42

2.1.3向量范数的等价性43

2.1.4向量范数的分析性质44

2.2矩阵范数45

2.2.1矩阵范数的定义45

2.2.2算子范数47

2.3矩阵范数与向量范数的相容性50

2.4矩阵的普半径及应用52

2.4.1矩阵的普半径52

2.4.2矩阵序列及级数中的应用53

2.5矩阵的条件数及应用57

2.5.1矩阵的条件数57

2.5.2误差估计中的应用58

习题61

第3章 矩阵分解63

3.1三角分解63

3.1.1三角分解的存在性及其唯一性63

3.1.2计算格式64

3.1.3选列主元的Doolittle分解65

3.1.4 Cholesky分解67

3.2 Householder变换与Givens变换68

3.2.1 Householder变换69

3.2.2 Givens变换71

3.2.3上Hessenberg矩阵74

3.3矩阵的QR分解78

3.3.1方阵的QR分解78

3.3.2长方阵的QR分解81

3.4矩阵的满秩分解81

3.4.1满秩分解的存在性82

3.4.2满秩分解的方法82

3.5矩阵的奇异值分解86

习题88

第4章 矩阵特征值的估计与计算90

4.1盖尔圆定理90

4.2特征值的隔离91

4.3幂迭代法与逆幂迭代法92

4.3.1幂迭代法93

4.3.2逆幂迭代法95

4.4 QR算法97

4.4.1 QR算法的基本思想97

4.4.2 Hessenberg 矩阵的QR算法97

4.4.3带原点位移的QR算法99

4.4.4特征向量的计算100

习题101

第5章 广义逆矩阵102

5.1 Penrose方程102

5.2 {1｝-逆的计算及性质103

5.2.1 {1}-逆的计算103

5.2.2 {1｝-逆的性质106

5.3 Moore-Penrose逆的计算及性质108

5.3.1 Moore-Penrose逆的计算108

5.3.2 Moore-Penrose逆的性质115

习题118

第6章 矩阵函数120

6.1矩阵函数的定义及其计算120

6.1.1矩阵函数的定义120

6.1.2矩阵函数的计算123

6.2矩阵函数的导数和积分128

6.2.1矩阵函数的导数定义及性质128

6.2.2对矩阵变量的导数132

6.2.3矩阵函数的积分及其性质134

6.3利用矩阵函数求解线性常系数微分方程组135

6.3.1一阶线性常系数微分方程组135

6.3.2 n阶线性常系数微分方程136

习题139

第7章 线性方程组的直接解法141

7.1 Gauss消去法141

7.2直接三角分解解法146

7.2.1解线性方程组的Doolittle方法146

7.2.2正定方程组的Cholesky法147

7.2.3三对角方程组的追赶法149

习题151

第8章 线性最小二乘问题153

8.1基本理论结果153

8.2列满秩LS问题155

8.2.1法方程组的方法156

8.2.2用QR分解求解列满秩的LS问题156

8.3秩亏损的LS问题157

习题159

第9章 线性方程组的迭代解法160

9.1迭代法的一般概念160

9.2 J迭代法和G-S迭代法163

9.2.1 J迭代法和G-S迭代法的构造163

9.2.2 J迭代法和G-S迭代法的收敛性165

9.3超松弛迭代法167

9.4极小化方法169

9.4.1与方程组等价的变分问题169

9.4.2最速下降法与共轭梯度法的定义170

9.4.3共轭梯度法的计算公式173

9.4.4共轭梯度法的性质175

9.4.5预处理共轭梯度法177

9.5广义极小残量法178

习题182

第10章 线性空间与线性变换184

10.1线性空间184

10.1.1数域184

10.1.2线性空间的定义与性质185

10.1.3线性空间的子空间186

10.2线性空间的基、维数与坐标187

10.2.1向量的线性相关性187

10.2.2基、维数与坐标189

10.2.3基变换和坐标变换190

10.3子空间的交、和与直和192

10.3.1子空间的基与维数192

10.3.2子空间的交与和193

10.3.3子空间的直和197

10.4线性空间的同构199

10.5线性变换202

10.5.1线性变换的定义与性质202

10.5.2线性变换的运算204

10.5.3线性变换的值域与核206

10.6线性变换的矩阵表示209

10.7线性变换的特征值、特征向量和不变子空间213

10.7.1线性变换的特征值与特征向量213

10.7.2线性变换的不变子空间216

10.8内积空间218

10.8.1内积空间的概念218

10.8.2度量矩阵220

10.8.3正交子空间223

10.8.4酉（正交）变换224

10.8.5 Hermite（对称）变换225

习题226

参考文献230