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第一部分 数学知识回顾2

第1章 证明方法与相关记法2

1.1 证明方法2

1.2 记法3

习题4

第2章 向量空间与矩阵5

2.1 向量与矩阵5

2.2 矩阵的秩9

2.3 线性方程组12

2.4 内积和范数14

习题16

第3章 变换18

3.1 线性变换18

3.2 特征值与特征向量18

3.3 正交投影21

3.4 二次型函数22

3.5 矩阵范数26

习题29

第4章 有关几何概念32

4.1 线段32

4.2 超平面与线性簇32

4.3 凸集33

4.4 邻域35

4.5 多面体和多胞形36

习题36

第5章 微积分基础37

5.1 序列与极限37

5.2 可微性42

5.3 导数矩阵43

5.4 微分法则46

5.5 水平集与梯度47

5.6 泰勒级数50

习题54

第二部分 无约束优化问题56

第6章 集合约束和无约束优化问题的基础知识56

6.1 引言56

6.2 局部极小点的条件57

习题65

第7章 一维搜索方法71

7.1 引言71

7.2 黄金分割法71

7.3 斐波那契数列法74

7.4 二分法81

7.5 牛顿法81

7.6 割线法84

7.7 划界法86

7.8 多维优化问题中的一维搜索87

习题88

第8章 梯度方法91

8.1 引言91

8.2 最速下降法92

8.3 梯度方法性质分析98

习题107

第9章 牛顿法111

9.1 引言111

9.2 牛顿法性质分析113

9.3 Levenberg-Marquardt修正116

9.4 牛顿法在非线性最小二乘问题中的应用116

习题119

第10章 共轭方向法120

10.1 引言120

10.2 基本的共轭方向算法121

10.3 共轭梯度法125

10.4 非二次型问题中的共轭梯度法128

习题130

第11章 拟牛顿法133

11.1 引言133

11.2 黑塞矩阵逆矩阵的近似134

11.3 秩1修正公式136

11.4 DFP算法140

11.5 BFGS算法144

习题147

第12章 求解线性方程组151

12.1 最小二乘分析151

12.2 递推最小二乘算法158

12.3 线性方程组的最小范数解161

12.4 Kaczmarz算法162

12.5 一般意义下的线性方程组的求解165

习题171

第13章 无约束优化问题和神经网络176

13.1 引言176

13.2 单个神经元训练177

13.3 反向传播算法179

习题187

第14章 全局搜索算法189

14.1 引言189

14.2 Nelder-Mead单纯形法189

14.3 模拟退火法192

14.4 粒子群优化算法195

14.5 遗传算法197

习题207

第三部分 线性规划210

第15章 线性规划概述210

15.1 线性规划简史210

15.2 线性规划的简单例子211

15.3 二维线性规划216

15.4 凸多面体和线性规划217

15.5 线性规划问题的标准型218

15.6 基本解222

15.7 基本解的性质225

15.8 几何视角下的线性规划227

习题230

第16章 单纯形法233

16.1 利用行变换求解线性方程组233

16.2 增广矩阵的规范型238

16.3 更新增广矩阵239

16.4 单纯形法240

16.5 单纯形法的矩阵形式245

16.6 两阶段单纯形法248

16.7 修正单纯形法251

习题254

第17章 对偶259

17.1 对偶线性规划259

17.2 对偶问题的性质265

习题270

第18章 非单纯形法275

18.1 引言275

18.2 Khachiyan算法276

18.3 仿射尺度法278

18.4 Karmarkar算法282

习题291

第19章 整数规划293

19.1 概述293

19.2 幺模矩阵293

19.3 Gomory割平面法299

习题305

第四部分 有约束的非线性优化问题308

第20章 仅含等式约束的优化问题308

20.1 引言308

20.2 问题描述309

20.3 切线空间和法线空间310

20.4 拉格朗日条件314

20.5 二阶条件321

20.6 线性约束下二次型函数的极小化324

习题328

第21章 含不等式约束的优化问题331

21.1 卡罗需－库恩－塔克（Karush-Kuhn-Tucker）条件331

21.2 二阶条件338

习题341

第22章 凸优化问题346

22.1 引言346

22.2 凸函数347

22.3 凸优化问题354

22.4 半定规划358

习题369

第23章 有约束优化问题的求解算法374

23.1 引言374

23.2 投影法374

23.3 求解含线性约束优化问题的投影梯度法376

23.4 拉格朗日法380

23.5 罚函数法385

习题390

第24章 多目标优化393

24.1 引言393

24.2 帕累托解393

24.3 帕累托前沿的求解395

24.4 多目标优化到单目标优化的转换398

24.5 存在不确定性的线性规划400

习题405

参考文献408