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第1章 行列式1

引言1

1.1二阶与三阶行列式2

1.1.1二阶行列式2

1.1.2三阶行列式4

习题1.16

1.2 n阶行列式的定义6

1.2.1全排列与逆序数6

1.2.2 n阶行列式的定义7

1.2.3对换11

习题1.213

1.3行列式的性质14

习题1.326

1.4行列式按行（列）展开28

习题1.436

1.5克莱姆法则39

习题1.544

第2章 矩阵46

引言46

2.1矩阵的概念47

2.1.1引例47

2.1.2矩阵的定义49

2.1.3几种特殊矩阵49

2.1.4线性变换的概念51

习题2.152

2.2矩阵的运算52

2.2.1矩阵的加法52

2.2.2数与矩阵的乘法53

2.2.3矩阵与矩阵的乘法54

2.2.4矩阵的转置61

2.2.5方阵的行列式62

习题2.264

2.3逆矩阵66

2.3.1逆矩阵的概念与性质66

2.3.2伴随矩阵及其与逆矩阵的关系67

习题2.374

2.4分块矩阵76

2.4.1分块矩阵的概念76

2.4.2分块矩阵的运算77

2.4.3克莱姆法则的证明84

习题2.485

2.5矩阵的初等变换86

2.5.1 矩阵的初等变换86

2.5.2初等矩阵91

2.5.3求逆矩阵的初等变换法94

2.5.4用初等变换法求解矩阵方程97

习题2.5100

2.6矩阵的秩102

2.6.1矩阵的秩102

2.6.2用初等变换求矩阵的秩104

2.6.3矩阵的秩的有关结论107

习题2.6108

第3章 线性方程组110

引言110

3.1线性方程组的解111

习题3.1123

3.2向量组的线性相关性124

3.2.1向量组的线性组合与向量组间的线性表示124

3.2.2向量组的线性相关性129

习题3.2134

3.3向量组的秩138

习题3.3143

3.4向量空间144

3.4.1向量空间与子空间144

3.4.2向量空间的基与维数146

3.4.3R3中的坐标变换公式149

习题3.4154

3.5线性方程组解的结构156

3.5.1齐次线性方程组解的结构156

3.5.2非齐次线性方程组解的结构163

习题3.5169

第4章 相似矩阵与矩阵对角化172

引言172

4.1矩阵的特征值与特征向量173

4.1.1特征值与特征向量177

4.1.2特征值与特征向量的性质177

习题4.1179

4.2相似矩阵与矩阵的对角化180

4.2.1相似矩阵的概念与性质180

4.2.2矩阵可对角化的条件182

4.2.3矩阵对角化的步骤与应用185

习题4.2191

4.3正交矩阵与正交变换193

4.3.1向量的内积与正交向量组193

4.3.2规范正交基与基的规范正交化195

4.3.3正交矩阵与正交变换198

习题4.3200

4.4实对称矩阵的对角化201

习题4.4206

第5章 二次型208

引言208

5.1二次型及其标准形209

5.1.1二次型及其矩阵209

5.1.2二次型的标准形211

习题5.1212

5.2化二次型为标准形213

5.2.1用正交变换化二次型为标准形213

5.2.2用配方法化二次型为标准形218

5.2.3二次型的规范形221

习题5.2223

5.3正定二次型224

5.3.1二次型有定性的概念224

5.3.2二次型和矩阵正定的判别法225

习题5.3229

第6章 线性空间与线性变换231

6.1线性空间的定义与性质231

6.1.1线性空间的定义231

6.1.2线性空间的性质233

6.1.3线性空间的子空间234

习题6.1235

6.2基、维数与坐标236

6.2.1线性空间的基与维数236

6.2.2线性空间的同构239

习题6.2240

6.3基变换与坐标变换241

6.3.1基变换公式与过渡矩阵241

6.3.2坐标变换公式242

习题6.3245

6.4线性变换247

6.4.1线性变换247

6.4.2线性变换的性质249

习题6.4251

6.5线性变换的矩阵表示252

6.5.1线性变换在给定基下的矩阵252

6.5.2线性变换与其矩阵的关系253

6.5.3线性变换在不同基下的矩阵257

习题6.5258

附录 代数学发展简史260

习题答案269

参考文献287