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第一篇 基础模块3

第1章 函数、极限与连续3

1.1 函数3

1.1.1 常量与变量3

1.1.2 函数的定义3

1.1.3 函数的几种特性7

1.1.4 基本初等函数9

1.1.5 复合函数和初等函数13

练习题1.114

1.2 极限的概念14

1.2.1 数列的极限15

1.2.2 函数的极限16

1.2.3 无穷小量与无穷大量19

练习题1.221

1.3 极限的运算21

1.3.1 极限的四则运算法则21

1.3.2 两个重要极限23

1.3.3 无穷小量的比较25

练习题1.326

1.4 函数的连续性27

1.4.1 函数连续的概念27

1.4.2 函数的间断28

1.4.3 初等函数的连续性29

1.4.4 闭区间上连续函数的性质30

练习题1.431

趣味阅读（一）连续复利的计算31

复习题一 A组（基础层次）32

复习题一 B组（提高层次）33

第2章 导数、微分及其应用34

2.1 导数的概念34

2.1.1 变化率问题举例34

2.1.2 导数的定义36

2.1.3 根据定义求导数举例37

2.1.4 可导与连续的关系38

2.1.5 导数的意义38

练习题2.140

2.2 导数的运算40

2.2.1 基本初等函数的导数公式40

2.2.2 导数的四则运算法则41

2.2.3 复合函数的求导法则42

2.2.4 隐函数的求导法则43

练习题2.244

2.3 高阶导数44

练习题2.345

2.4 导数的应用46

2.4.1 中值定理46

2.4.2 洛必达法则47

2.4.3 函数的单调性49

2.4.4 函数的极值51

2.4.5 函数的最值及应用53

练习题2.455

2.5 微分及其应用55

2.5.1 微分的定义55

2.5.2 微分的几何意义56

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则57

2.5.4 微分在近似计算中的应用58

练习题2.559

2.6 多元函数的偏导数与极值59

2.6.1 多元函数的偏导数59

2.6.2 多元函数的极值62

练习题2.663

趣味阅读（二） 一年中哪一天白天最“长”63

复习题二 A组（基础层次）65

复习题二 B组（提高层次）66

第3章 积分及其应用 常微分方程67

3.1 不定积分67

3.1.1 不定积分的概念和性质67

3.1.2 换元积分法71

3.1.3 分部积分法75

练习题3.176

3.2 定积分及其应用77

3.2.1 定积分的概念和性质77

3.2.2 定积分的计算82

3.2.3 定积分的应用85

练习题3.290

3.3 反常积分91

练习题3.393

3.4 常微分方程93

3.4.1 微分方程的基本概念93

3.4.2 可分离变量的微分方程95

3.4.3 一阶线性微分方程97

3.4.4 二阶常系数线性微分方程98

练习题3.4102

趣味阅读（三） 微积分与万有引力定律102

复习题三 A组（基础层次）104

复习题三 B组（提高层次）105

第二篇 专业模块109

第4章 线性代数及其应用109

4.1 行列式与矩阵109

4.1.1 行列式109

4.1.2 矩阵的概念114

4.1.3 矩阵的运算116

练习题4.1124

4.2 矩阵的初等变换124

4.2.1 初等变换的概念124

4.2.2 矩阵的秩126

4.2.3 可逆矩阵与逆矩阵127

练习题4.2130

4.3 线性方程组131

4.3.1 线性方程组的概念131

4.3.2 线性方程组的解法133

4.3.3 线性方程组解的判定135

练习题4.3139

4.4 线性规划139

4.4.1 线性规划问题的数学模型140

4.4.2 线性规划问题的图解法142

4.4.3 线性规划问题的计算机求解143

练习题4.4147

趣味阅读（四） 千年世界名题“百钱买百鸡”问题149

复习题四 A组（基础层次）152

复习题四 B组（提高层次）153

第5章 概率统计155

5.1 随机事件与概率155

5.1.1 随机事件及其表达155

5.1.2 随机事件的概率158

练习题5.1163

5.2 随机变量的分布及其数字特征164

5.2.1 随机变量及其分布164

5.2.2 随机变量的数字特征167

练习题5.2170

5.3 数理统计初步170

5.3.1 样本、统计量与抽样分布170

5.3.2 参数估计171

5.3.3 假设检验173

练习题5.3174

趣味阅读（五）趣味无穷的概率174

复习题五 A组（基础层次）176

复习题五 B组（提高层次）177

第6章 积分变换178

6.1 傅里叶变换178

6.1.1 傅里叶级数178

6.1.2 傅里叶积分与傅里叶变换180

6.1.3 单位脉冲函数（δ函数）及其傅里叶变换183

6.1.4 傅里叶变换的性质185

练习题6.1188

6.2 拉普拉斯变换188

6.2.1 拉普拉斯变换的基本概念188

6.2.2 拉普拉斯变换的基本性质190

6.2.3 拉普拉斯逆变换194

6.2.4 拉普拉斯变换的应用举例194

练习题6.2196

趣味阅读（六） 刑事侦查中时间的推断196

复习题六 A组（基础层次）197

复习题六 B组（提高层次）198

第7章 离散数学200

7.1 集合与关系200

7.1.1 有限集合的计数问题200

7.1.2 集合的概念201

7.1.3 集合的运算202

7.1.4 关系的概念204

7.1.5 关系的性质205

练习题7.1208

7.2 数理逻辑209

7.2.1 苏格拉底三段论209

7.2.2 命题逻辑209

7.2.3 谓词逻辑215

练习题7.2218

7.3 图论219

7.3.1 哥尼斯堡七桥问题219

7.3.2 图的基本概念219

7.3.3 图的矩阵表示222

7.3.4 欧拉图222

7.3.5 哈密顿图223

7.3.6 树224

练习题7.3227

趣味阅读（七）悖论的魅力227

复习题七 A组（基础层次）229

复习题七 B组（提高层次）229

第三篇 实践模块233

第8章 MATLAB数学实验与数学建模233

8.1 MATLAB入门233

8.1.1 MATLAB简介233

8.1.2 常量、变量与函数234

8.1.3 一维数组（向量）的创建236

练习题8.1237

8.2 实验一 MATLAB基本运算237

8.2.1 算术运算237

8.2.2 代数式运算238

8.2.3 解方程和方程组240

练习题8.2241

8.3 实验二 MATLAB图形处理241

8.3.1 二维曲线的绘制241

8.3.2 三维参量曲线的绘制246

8.3.3 三维网格图的绘制248

练习题8.3249

8.4 实验三 微积分问题的MATLAB求解249

8.4.1 求极限249

8.4.2 求导数250

8.4.3 求极值251

8.4.4 求积分252

练习题8.4253

8.5 实验四 积分变换问题的MATLAB求解254

8.5.1 常微分方程254

8.5.2 拉普拉斯（Lapalace）变换255

8.5.3 傅里叶（Fourier）变换256

练习题8.5256

8.6 实验五 线性代数问题的MATLAB求解256

8.6.1 矩阵及其代数运算256

8.6.2 逆矩阵与矩阵方程259

8.6.3 线性方程组的求解260

练习题8.6263

8.7 实验六 概率统计问题的MATLAB求解263

8.7.1 几种常用的概率分布263

8.7.2 随机变量的数字特征——数学期望与方差265

8.7.3 样本均值、方差和标准差268

8.7.4 参数估计与区间估计268

练习题8.7269

8.8 数学建模初探269

8.8.1 数学模型与数学建模269

8.8.2 数学建模案例270

练习题8.8273

趣味阅读（八） 人、狗、鸡、米过河问题273

复习题八 A组（基础层次）274

复习题八 B组（提高层次）275

附录Ⅰ 标准正态分布表276

附录Ⅱ t分布表277

附录Ⅲ x2分布表279

习题参考答案280

参考文献295