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第1章 计算物理学和计算材料科学1

1.0 绪论1

1.1 计算物理学的起源与发展1

1.2 计算物理学的特点和方法2

1.3 计算物理学的进展5

1.4 计算材料科学6

1.4.1 分子动力学的发展历程7

1.4.2 蒙特卡洛方法及其发展历程8

参考文献9

第2章 误差理论10

2.1 误差的基本概念10

2.1.1 准确值，误差限，真值，期望值和平均值10

2.1.2 误差的具体类型11

2.1.3 有效数与可靠数11

2.2 随机误差12

2.2.1误差分布函数12

2.2.2 随机误差的特点13

2.2.3 随机误差的估算13

2.3 误差传递公式15

2.3.1 单变量误差的传递16

2.3.2 多变量误差的传递16

2.3.3 标准误差的传递公式16

2.3.4 关于测量数列算术平均值的标准误差17

2.4 计算机中的数值运算18

2.4.1 整数18

2.4.2 浮点数表示及误差18

2.4.3 计算函数值的坏条件判别法18

2.4.4 保证计算数值稳定的原则19

2.5 矩阵运算中的误差问题20

2.5.1 矩阵的条件数20

2.5.2 线性方程组解的相对误差20

参考文献22

第3章 数值计算概要23

3.1 范数与谱半径23

3.1.1 范数的定义23

3.1.2 矩阵的谱半径24

3.2 线性方程组的解法24

3.2.1 矩阵求逆法24

3.2.2 选主元的三角分解法25

3.3 矩阵的特征值问题27

3.3.1 矩阵折叠法求本征值28

3.3.2 实对称矩阵的雅克比对角化变换法30

3.3.3 特征值的敏感性33

3.4 矩阵的镜象变换法34

3.4.1 镜象变换法34

3.4.2 实对称三对角矩阵的本征值36

3.5 曲线插值法37

3.5.1 抛物型插值法的拉格朗日公式37

3.5.2 抛物型插值法的牛顿公式38

3.6 最佳一致逼近39

3.6.1 切比雪夫多项式39

3.6.2 最佳平方逼近39

3.6.3 最小二乘法42

3.6.4 正交多项式逼近42

3.7 差分和差商运算47

3.7.1 差分算子47

3.7.2 差商公式48

3.8 积分运算49

3.8.1 多项式逼近的数值积分公式49

3.8.2 高斯数值积分法51

3.9 迭代运算54

3.9.1 直接迭代法54

3.9.2 牛顿迭代法54

3.9.3 弦截法55

3.10 微分方程的数值解法56

3.10.1 Numerov法56

3.10.2 龙格-库塔法56

3.10.3 高阶微分方程和一阶微分方程组的龙格-库塔法求解57

参考文献58

第4章 分子动力学运动方程解法59

4.1 理论力学原理60

4.1.1 最小作用量原理60

4.1.2 拉格朗日（Lagrange）方程61

4.1.3 哈密顿（Hamilton）方程63

4.1.4 哈密顿（Hamilton）量与半经典量子化计算64

4.2 粒子与粒子系综67

4.2.1 相互作用的多粒子系综67

4.2.2 粒子互作用模型的平衡统计性质——热力学性质的时间平均68

4.3 粒子系统运动方程的数值解法69

4.3.1 边界条件69

4.3.2 Verlet算法70

4.3.3 Gear算法71

4.4 Gear预测-矫正方法71

4.4.1 表象表示法71

4.4.2 表象变换72

4.4.3 预测-矫正法（predictor-corrector）73

4.5 几种算法的比较76

4.5.1 Verlet算法76

4.5.2 跳蛙式算法77

4.5.3 Beeman算法77

4.5.4 比较几种算法的精度78

4.6 复合函数算法79

4.6.1 第一型算法80

4.6.2 第二型算法80

4.7 高阶综合矫正复合函数算法82

4.7.1 第一型推广算法82

4.7.2 第二型推广算法84

4.7.3 第三型推广算法85

4.7.4 第四型推广算法86

4.7.5 第五型推广算法89

4.7.6 更高阶预测公式92

参考文献93

第5章 计算机模拟的粒子系综94

5.1 微正则系综（E,V,N）95

5.1.1 计算热力学量95

5.1.2 运动方程组的建立97

5.1.3 数值求解的具体实施98

5.2 正则系综（N,V,T）100

5.2.1 正则系综的原理100

5.2.2 正则系综分子动力学算法102

5.2.3 正则系综与微正则系综的区别104

5.3 等温等压系综（N,P,T）105

5.3.1 等温扩展法105

5.3.2 等压扩展法106

5.4 体积可变的等焓等压（H,P,N）系综107

5.4.1 晶胞结构矩阵与矢量的建立108

5.4.2 仅有均匀恒压的情况108

5.4.3 系统受到外部胁强时的一般情况109

5.5 新恒压分子动力学模型110

5.5.1 分子系统的运动方程110

5.5.2 分子系统的守恒定律112

5.5.3 对称的晶胞矢量h约束下的运动方程113

5.5.4 受约束动力学晶胞的运动方程115

5.6 自由能的计算和其他系综117

5.6.1 巨正则系综118

5.6.2 Gibbs系综119

5.6.3 半巨系综119

5.7 非平衡系综动力学120

5.7.1 输运过程120

5.7.2 非平衡分子动力学模拟（NEMD）120

5.7.3 非平衡分子动力学在线性谐振子上的应用122

5.7.4 自扩散算法123

参考文献124

第6章 势函数理论与模型125

6.1 势函数发展简介125

6.1.1 原子间相互作用势的发展概况126

6.1.2 构成分子的原子间势127

6.1.3 固体中的对势模型127

6.1.4 多体势129

6.2 半经验势129

6.2.1 长程势129

6.2.2 短程势130

6.3 经验势131

6.4 赝势模型132

6.4.1 等效势概念133

6.4.2 电子密度和赝密度134

6.4.3 离子赝势134

6.5 共价和离子晶体中的原子间互作用势135

6.5.1 二体加三体势（团簇势）136

6.5.2 Abell势模型137

6.5.3 Tersoff势模型138

6.5.4 KD势模型139

6.5.5 分子间势模型140

6.5.6 电子气势模型141

6.6 紧束缚势模型和密度泛函理论143

6.6.1 密度泛函理论143

6.6.2 态密度和带能147

6.6.3 紧束缚近似148

6.6.4 能矩和二次矩148

6.6.5 过渡金属和合金的紧束缚势150

6.7 分子动力学和密度泛函理论的统一方法151

6.7.1 第一性原理分子动力学方法152

6.7.2 多原子体系动力学——C-P运算方法154

6.8 固体、分子经验电子理论及相关势函数162

6.8.1 固体、分子经验电子理论162

6.8.2 过渡金属和合金的结合能公式164

6.8.3 碱金属和碱土金属的Morse势函数模型167

6.8.4 固体中Lennard-Jones型势函数的谢氏模型168

6.8.5 谢氏势函数模型的改进型172

6.8.6 基于“经验电子理论”的势函数模型的特点及存在的困难174

参考文献174

第7章 金属中的嵌入势模型177

7.1 嵌入原子法177

7.1.1 嵌入原子法基本原理178

7.1.2 晶体结合能公式178

7.1.3 由结合能导出的力学性质公式178

7.1.4 排斥势函数和电子密度函数179

7.1.5 有效电荷及嵌入能函数180

7.1.6 作用在每个原子上的合力181

7.1.7 表面能计算公式181

7.1.8 采用Rose普适方程的嵌入势函数拟合法181

7.1.9 嵌入原子法的理论推导简介182

7.1.10 金属合金中的原子间相互作用势183

7.2 分析型EAM模型183

7.2.1 Johnson的分析型EAM模型184

7.2.2 EAM模型的改进185

7.2.3 改进的普适分析型EAM模型185

7.2.4 分析型EAM模型的应用与展望187

7.3 Finnis Sinclair经验势函数188

7.3.1 Finnis-Sinclair（F-S）模型188

7.3.2 Finnis-Sinclair模型的改进型189

7.3.3 Finnis-Sinclair模型的样条函数结构190

7.3.4 弹性形变和间隙原子能190

7.4 HCP结构金属的嵌入势模型191

7.4.1 金属Zr的分析型EAM模型192

7.4.2 HCP结构金属的分析型F-S模型194

7.4.3 金属Zr的分析型F-S模型196

7.4.4 晶格振动问题196

7.4.5 HCP结构金属的非球对称模型197

7.4.6 考虑到内弹性常数的HCP结构金属的分析型模型200

7.5 合金材料中的势函数207

7.5.1 Johnson对势函数的解析形式208

7.5.2 Ackland的F-S合金势模型210

7.5.3 F-S合金势模型用于金属间化合物的研究实例212

7.5.4 金属间化合物的EAM势模型217

7.6 Rose普适理论219

7.6.1 能量和原子间距之间的普适关系219

7.6.2 普适关系函数221

参考文献224

第8章 Monte Carlo方法226

8.1 MC方法的基本思想226

8.1.1 Buffon试验226

8.1.2 随机事件的概率定义227

8.1.3 马尔可夫（Markov）过程228

8.1.4 大数定理和中心极限定理228

8.2 伪随机数的产生和检验229

8.2.1 产生随机数的方法230

8.2.2 伪随机数的随机性检验231

8.3 给定分布的随机数抽样方法232

8.3.1 离散型随机变量的直接抽样233

8.3.2 连续分布的随机变量抽样234

8.3.3 Metropolis抽样法241

8.4 微正则系综MC方法244

8.5 正则系综MC方法246

8.5.1 跃迁概率246

8.5.2 正则系综的MC模拟法247

8.6 等温等压系综MC方法248

8.7 巨正则系综MC方法249

8.7.1 巨正则系综MC算法之一249

8.7.2 巨正则系综MC算法之二250

参考文献251

第9章 Monte Carlo方法的应用252

9.1 MC方法在数值计算中的应用252

9.1.1 计算定积分252

9.1.2 解非线性方程组256

9.1.3 解微分方程257

9.2 Ising模型258

9.2.1 磁性材料259

9.2.2 二元合金261

9.2.3 Heisenberg连续自由度Ising模型261

9.3 自由能的计算263

9.3.1 正则系综自由能的计算263

9.3.2 二元系金属模型自由能的计算265

9.3.3 计算任意固体的自由能及其在刚球fcc和hcp相中的应用266

9.3.4 有相互作用力的Einstein晶体自由能270

9.4 MC在三维组织和模拟辐射屏蔽中的应用271

9.4.1 用MC方法模拟材料三维组织及其演变271

9.4.2 用MC方法求解辐射屏蔽问题273

参考文献279

第10章 计算程序设计方法280

10.1 晶胞结构设计280

10.1.1 坐标变换方法281

10.1.2 HCP晶胞结构程序设计281

10.2 周期性边界条件的程序设计284

10.3 分子动力学计算程序设计286

10.3.1 预测矫正法程序设计286

10.3.2 原子系综的分子动力学程序设计290

10.4 METROPOLIS抽样算法292

参考文献292

附录293

附录1 可以演示的几个计算程序293

例1 双原子分子在相空间中的量子轨道和能级293

例2 监测各次扫描之间可观察量的关联297

例3 计算氢分子内聚能的程序303

例4 利用局域自旋密度近似法计算氢原子有效势的程序305

例5 利用四面体法计算状态密度306

例6 用EAM法计算铜的原子内聚能和空位形成能309

例7 sp3杂化轨道间交叠积分的计算312

附录2 物理学常数315

附表1 物理学常数315

附表2 用于低能分子动力学的通用单位316