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第8章 多元函数的微分学及其应用1

8.1 多元函数的基本概念1

8.1.1 n维Euclid空间1

8.1.2 R2空间中的点集3

8.1.3 多元函数的概念4

习题8.16

8.2 多元函数的极限与连续7

8.2.1 多元函数的极限7

8.2.2 二元函数的二次极限9

8.2.3 多元函数的连续性11

8.2.4 有界闭区域上连续函数的性质14

习题8.215

8.3 偏导数与全微分16

8.3.1 偏导数16

8.3.2 高阶偏导数20

8.3.3 全微分22

习题8.328

8.4 复合函数偏导数的求导法则29

习题8.434

8.5 隐函数偏导数的求导法则35

8.5.1 由一个方程确定的隐函数的求导法则35

8.5.2 由方程组确定的隐函数的求导法则37

习题8.542

8.6 方向导数和梯度43

8.6.1 方向导数43

8.6.2 梯度46

习题8.648

8.7 多元函数的Taylor公式49

习题8.754

8.8 多元函数的极值54

8.8.1 极值的概念54

8.8.2 条件极值61

8.8.3 最小二乘法64

习题8.869

8.9 多元函数微分学在几何上的应用70

8.9.1 向量值函数70

8.9.2 空间曲线的切线与法平面方程72

8.9.3 曲面的切平面与法线76

习题8.981

总习题881

第9章 多元函数的积分学及其应用85

9.1 几何体上的积分及基本性质85

9.1.1 几何体上的积分85

9.1.2 几种常见形式的几何体上的积分86

9.1.3 积分的基本性质88

习题9.189

9.2 二重积分的计算90

9.2.1 二重积分的几何意义90

9.2.2 在平面直角坐标系下计算二重积分92

9.2.3 在极坐标系下计算二重积分99

9.2.4 二重积分的变量替换103

习题9.2107

9.3 三重积分的计算109

9.3.1 在直角坐标系下计算三重积分109

9.3.2 在柱坐标系下计算三重积分115

9.3.3 在球坐标系下计算三重积分118

9.3.4 三重积分的变量替换公式119

习题9.3121

9.4 第一类曲线积分与曲面积分的计算123

9.4.1 第一类曲线积分的计算123

9.4.2 第一类曲面积分的计算128

9.4.3 利用参数方程计算第一类曲面积分133

习题9.4134

9.5 第二类曲线积分与曲面积分135

9.5.1 第二类曲线积分的概念与性质135

9.5.2 第二类曲线积分的计算方法138

9.5.3 第二类曲面积分的概念与性质142

9.5.4 第二类曲面积分的计算147

习题9.5151

9.6 几种积分间的联系152

9.6.1 两类曲线积分之间的转化152

9.6.2 两类曲面积分之间的转化155

9.6.3 Green公式156

9.6.4 Gauss公式162

9.6.5 Stokes公式168

习题9.6171

9.7 积分与路径无关的条件172

9.7.1 平面曲线积分与路径无关的条件172

9.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件177

9.7.3 空间曲面积分与路径无关的条件179

习题9.7180

9.8 场论初步181

9.8.1 场的概念181

9.8.2 梯度场183

9.8.3 向量场的散度184

9.8.4 向量场的旋度187

习题9.8190

9.9 多元函数积分学的应用190

9.9.1 积分的元素法简介191

9.9.2 质心192

9.9.3 转动惯量195

9.9.4 引力196

习题9.9198

总习题9199

第10章 无穷级数201

10.1 常数项级数的概念及基本性质201

10.1.1 常数项级数的概念201

10.1.2 常数项级数的基本性质204

习题10.1208

10.2 常数项级数的审敛法209

10.2.1 正项级数209

10.2.2 交错级数216

10.2.3 一般项级数217

习题10.2220

10.3 函数项级数221

10.3.1 函数项级数的概念及基本性质221

10.3.2 函数项级数一致收敛的概念及判别法223

10.3.3 一致收敛的函数项级数的性质227

习题10.3231

10.4 幂级数232

10.4.1 幂级数的基本概念及基本性质232

10.4.2 函数的Taylor展式241

10.4.3 Taylor展式在近似计算中的应用247

10.4.4 Euler公式250

习题10.4253

10.5 Fourier级数254

10.5.1 三角级数及三角函数系的概念254

10.5.2 以2π为周期的周期函数的Fourier级数展式256

10.5.3 一般周期函数的Fourier级数展式264

10.5.4 Fourier级数的复数形式269

习题10.5271

总习题10272

第11章 常微分方程275

11.1 微分方程的基本概念275

习题11.1280

11.2 可分离变量的一阶微分方程281

11.2.1 可分离变量方程281

11.2.2 可化为可分离变量方程的几种类型283

习题11.2288

11.3 一阶线性微分方程289

习题11.3292

11.4 全微分方程293

习题11.4298

11.5 某些高阶微分方程的降阶解法298

11.5.1 形如y(n)=f(x)的微分方程298

11.5.2 形如y″=f(x,y′)的微分方程299

11.5.3 形如y″=f(y,y′)的微分方程301

习题11.5302

11.6 n阶线性微分方程解的结构302

11.6.1 n阶线性微分方程解的结构302

11.6.2 n阶线性微分方程解的性质与结构304

11.6.3n 阶线性微分方程的幂级数解法309

习题11.6311

11.7 n阶常系数线性微分方程的解法313

11.7.1 n阶常系数齐次线性微分方程的解法313

11.7.2 n阶常系数非齐次线性微分方程的解法317

11.7.3 Euler方程327

习题11.7329

11.8 常系数线性微分方程组解法举例330

习题11.8334

11.9 微分方程的应用举例334

习题11.9341

总习题11342

习题参考答案与提示345

参考书目366