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第1章 行列式1

1.1行列式的定义1

1.1.1二阶、三阶行列式1

1.1.2数码的排列3

1.1.3 n阶行列式的定义5

历史寻根：行列式8

习题1.19

1.2行列式的性质9

习题1.215

1.3行列式的展开定理15

1.3.1余子式和代数余子式16

1.3.2行列式按行（列）展开定理16

1.3.3拉普拉斯（Laplace）展开定理19

背景聚焦：解析几何中的行列式22

习题1.323

1.4行列式的计算24

1.4.1利用行列式的定义24

1.4.2化为上（下）三角形行列式25

1.4.3利用行列式展开定理26

方法索引：数学归纳法26

1.4.4数学归纳法27

历史寻根：范德蒙28

1.4.5递推法28

1.4.6升阶法（加边法）29

1.4.7利用已知行列式30

1.4.8综合例题31

习题1.432

1.5克莱姆（Cramer）法则33

历史寻根：克莱姆38

习题1.538

总习题一38

第2章 矩阵43

2.1矩阵的定义与运算43

2.1.1矩阵的概念43

历史寻根：矩阵45

2.1.2矩阵的加法45

2.1.3数乘矩阵46

2.1.4矩阵与矩阵的乘法47

2.1.5方阵的幂运算50

2.1.6矩阵的转置52

2.1.7共轭矩阵53

背景聚焦：天气的马尔可夫（Markov）链53

习题2.154

2.2几种特殊的矩阵55

2.2.1对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵55

2.2.2上（下）三角形矩阵56

2.2.3对称矩阵和反对称矩阵57

2.2.4幂零矩阵、幂等矩阵和幂幺矩阵58

习题2.259

2.3可逆矩阵59

2.3.1方阵的行列式60

2.3.2方阵的逆62

2.3.3矩阵方程65

背景聚焦：矩阵密码法67

习题2.367

2.4矩阵的分块68

2.4.1矩阵的分块及运算68

2.4.2可逆分块矩阵73

习题2.476

2.5矩阵的初等变换与初等矩阵76

2.5.1矩阵的初等变换77

2.5.2初等矩阵78

2.5.3初等矩阵与初等变换80

2.5.4用初等变换的方法求逆矩阵82

习题2.584

2.6矩阵的秩85

2.6.1子式85

2.6.2矩阵的秩85

2.6.3初等变换求矩阵的秩86

2.6.4几个常见的结论89

历史寻根：凯莱90

习题2.691

总习题二91

第3章 向量与线性方程组96

3.1线性方程组解的存在性96

3.1.1高斯（Gauss）消元法96

3.1.2线性方程组解的存在性98

历史寻根：线性方程组104

习题3.1105

3.2向量组的线性相关性106

3.2.1 n维向量的概念106

3.2.2线性表示与线性组合108

3.2.3线性相关与线性无关109

3.2.4线性相关性的几个定理111

历史寻根：向量113

习题3.2113

3.3向量组的秩114

3.3.1向量组的等价114

3.3.2极大线性无关组与向量组的秩116

3.3.3向量组的秩与矩阵的秩的关系118

习题3.3122

3.4向量空间122

3.4.1向量空间的概念123

3.4.2基、维数与坐标124

3.4.3子空间及其维数126

习题3.4128

3.5线性方程组解的结构128

3.5.1齐次线性方程组解的结构128

3.5.2非齐次线性方程组解的结构132

习题3.5137

总习题三138

第4章 矩阵相似对角化143

4.1欧氏空间Rn143

4.1.1内积的概念143

4.1.2标准正交基145

4.1.3正交矩阵及其性质150

习题4.1151

4.2方阵的特征值和特征向量151

4.2.1特征值和特征向量的基本概念152

方法索引：求实系数多项式的实根153

4.2.2特征值的性质154

背景聚焦：特征值与Buckey球的稳定性157

4.2.3特征向量的性质157

历史寻根：特征值和特征向量160

习题4.2160

4.3矩阵相似对角化条件161

4.3.1相似矩阵161

4.3.2矩阵可对角化条件162

4.3.3矩阵相似对角化的应用165

背景聚焦：工业增长模型167

习题4.3168

4.4实对称矩阵的相似对角化169

4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量169

4.4.2实对称矩阵相似对角化170

背景聚焦：面貌空间173

习题4.4174

4.5 Jordan标准形介绍175

4.5.1 Jordan矩阵175

4.5.2 Jordan标准形定理176

4.5.3 Jordan标准形的求法177

历史寻根：矩阵论183

总习题四184

第5章 二次型188

5.1二次型及其矩阵表示188

5.1.1基本概念188

5.1.2线性替换190

5.1.3矩阵的合同191

历史寻根：二次型192

习题5.1192

5.2化二次型为标准形193

5.2.1正交替换法193

5.2.2配方法195

5.2.3初等变换法198

习题5.2201

5.3化二次型为规范形201

5.3.1实二次型的规范形202

5.3.2复二次型的规范形203

习题5.3205

5.4正定二次型和正定矩阵205

5.4.1基本概念205

5.4.2正定二次型的判定206

5.4.3正定矩阵的性质212

5.4.4其他有定二次型213

习题5.4214

总习题五215

第6章 线性空间与线性变换219

6.1线性空间的概念219

6.1.1线性空间的定义与例子219

6.1.2线性空间的简单性质221

6.1.3子空间222

6.1.4实内积空间224

习题6.1226

6.2线性空间的基、维数和坐标226

6.2.1基与维数227

6.2.2坐标228

6.2.3基变换与坐标变换230

习题6.2233

6.3线性变换233

6.3.1线性变换的概念233

6.3.2线性变换的简单性质235

6.3.3线性变换的矩阵表示236

习题6.3238

6.4线性变换在不同基下的矩阵239

习题6.4242

总习题六242

附录246

附录A矩阵特征问题的数值解246

附录B广义逆矩阵简介252

附录C数域与多项式简介255

附录D Maple的基本知识259

部分习题答案与提示265

参考文献288