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第一章 微分方程概说1

1. 引言1

2. 关于解的一般性说明3

给讲课教师的建议4

3. 曲线族.正交轨线9

4. 增长、消减和化学反应14

5. 落体和其他速率问题18

6. 速降线.费马与伯努利家族23

第二章 一阶方程33

7. 齐次方程33

8. 恰当方程35

9. 积分因子39

10. 线性方程44

11. 降阶法47

12. 悬链.追线49

13. 简单电路55

附录A. 数值方法61

第三章 二阶线性方程68

14. 前言68

15. 齐次方程的通解72

16. 利用一个已知解求出别的解77

17. 常系数齐次方程79

18. 待定系数法82

19. 变动参数法86

20. 机械系统的振动89

21. 牛顿引力定律及行星运动96

附录A. 欧拉103

附录B. 牛顿107

第四章 振荡理论及边值问题112

22. 解的定性性质112

23. 斯图尔姆比较定理118

24. 特征值，特征函数及振动弦121

附录A. 正则的斯图尔姆-利乌维勒问题130

第五章 幂级数解及特殊函数137

25. 引言.幂级数复习137

26. 一阶方程的级数解144

27. 二阶线性方程.寻常点148

28. 正则奇异点156

29. 正则奇异点(续)165

30. 高斯超几何方程172

31. 无穷远点177

附录A. 两个关于收敛性的证明180

附录B. 厄尔米特多项式及量子力学184

附录C. 高斯195

附录D. 契比雪夫多项式及极大中的极小性质205

附录E. 黎曼方程211

第六章 数学物理中的某些特殊函数221

32. 勒让特多项式221

33. 勒让特多项式的性质228

34. 贝塞耳函数。嘎马(gamma)函数234

35. 贝塞耳函数的性质244

附录A. 勒让特多项式与势论251

附录B. 贝塞耳函数与振动膜258

附录C. 贝塞耳函数的一些其他性质263

36. 微分方程组概说269

第七章 一阶方程组269

37. 线性方程组272

38. 常系数齐次线性方程组280

39. 非线性方程组。伏尔台拉弱肉强食方程287

第八章 非线性方程293

40. 自治方程组。相平面及其现象293

41. 临界点的类型。稳定性299

42. 线性方程组的临界点与稳定性307

43. 用李亚普诺夫直接方法研究稳定性318

44. 非线性方程组的简单临界点324

45. 非线性力学。守恒系统333

46. 周期解.庞加莱-本狄克生定理339

附录A. 宠加莱347

附录B. 李那定理的证明351

第九章 变分法355

47. 前言.变分法的一些典型问题355

48. 极值线的欧拉微分方程358

49. 等周问题367

附录A. 拉格朗日377

附录B. 哈米尔顿原理及其含义378

50. 引言391

第十章 拉普拉斯变换391

51. 关于理论的几点说明395

52. 在微分方程上的应用399

53. 拉普拉斯变换式的导数和积分404

54. 卷积及阿倍耳力学问题409

附录A. 拉普拉斯415

附录B. 阿倍耳417

第十一章 解的存在及唯一性421

55. 逐次逼近法421

56. 毕卡定理425

57. 方程组.二阶线性方程436

习题解答439