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第一章 误差1

1 误差的来源1

2 绝对误差、相对误差和有效数字1

2.1 绝对误差与相对误差1

2.2 有效数字3

3 数值计算中误差的传播4

3.1 基本运算中的误差估计4

3.2 算法的数值稳定性5

4 数值计算中应注意的问题7

习题一10

第二章 解线性方程组的直接方法11

1 高斯(Gauss)消去法12

1.1 Gauss消去法12

1.2 Gauss消去法的计算量14

2 主元素法14

2.1 列主元素法15

2.2 金主元素法16

3 自接三角解法18

3.1 Gauss消去法的矩阵形式18

3.2 矩阵的三角分解20

3.3 直接三角分解法23

3.4 解三对角方程组的追赶法25

4.1 平方根法(cholesky分解法)28

4 平方根法与改进的平方根法28

4.2 改进的平方根法(LDLT法)30

5 误差分析31

5.1 向量和矩阵的范数31

5.2 方程组的状态与条件数36

5.3 误差分析39

6 超定线性方程组的最小二乘解40

习题二43

1.1 迭代法的一般形式46

1.2 向量序列与矩阵序列的收敛性46

1 迭代法概述46

第三章 解线性方程组的迭代法46

2 雅可比(Jocobi)迭代法47

3 高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法49

4 松弛法52

5 迭代法的收敛条件54

5.1 矩阵的谱半径54

5.2 迭代法的收敛条件55

5.3 误差估计59

6.2 共轭梯度法61

6 最速下降法与共轭梯度法61

6.1 最速下降法61

习题三63

第四章 矩阵特征值与特征向量的计算66

1 幂法和反幂法66

1.1 幂法66

1.2 幂法的加速69

1.3 反幂法72

2 Jacobi方法73

2.1 矩阵的旋转变换74

2.2 Jacobi方法75

3 OR算法77

3.1 基本QR方法77

3.2 豪斯豪尔德(Householder)变换79

3.3 化一般矩阵为拟上三角阵80

3.4 拟上三角阵的QR分解83

3.5 带原点移位的QR方法86

习题四87

第五章 插值法89

1 拉格朗日(Lagrange)插值89

1.1 多项式插值89

1.2 插值多项式的语差估计90

1.3 Lagrange插值多项式91

2 牛顿(Newton)插值95

2.1 差商95

2.2 Newton插值公式96

2.3 差分99

2.4 等距节点插值公式101

3 分段线性插值104

4 埃尔米特(Hermite)插值107

4.1 Hermite插值107

4.2 误差估计108

4.3 分段三次Hermite插值110

4.4 Hermite插值的一般形式111

5 样条插值112

5.1 样条函数的概念112

5.2 三次样条插值113

6 快速富里叶变换(FFT)118

6.1 三角函数插值118

6.2 快速富里叶变换119

习题五124

第六章 函数逼近127

1.1 多项式拟合128

1 数据拟合的最小二乘法128

1.2 指数拟合129

1.3 线性最小二乘法的一般形式130

2 正交多项式133

2.1 基本概念133

2.2 格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法134

2.3 常用的正交多项式136

3 函数的最佳平方逼近139

4 最佳一致逼近多项式144

4.1 最佳一致逼近多项式144

4.2 Chebyshevg插值法145

习题六148

第七章 数值微分与数值积分150

1 数值微分150

1.1 差商型求导公式150

1.2 插值型求导公式151

1.3 利用样条函数求数值微分153

2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式153

2.1 数值积分的基本思想153

2.2 Newton-Cotes公式154

2.3 误差估计156

3.1 复化梯形公式159

3 复化求积公式159

3.2 复化Slmpeon公式160

3.3 逐次分半算法162

4 龙贝格(Romberg)求积公式165

4.1 李查逊(Richardson)外推法165

4.2 Romberg求积公式165

4.3 Romberg方法的收敛性168

5 Gauss型求积公式170

5.1 一般理论170

5.2 几种常用的Gauss型求积公式174

5.3 振荡函数的积分179

习题七181

第八章 非线性方程及非线性方程组解法185

1 对分区间法185

2 简单迭代法187

2.1 简单迭代法的一般形式及其几何意义187

2.2 简单迭代法的收敛条件189

2.3 Steffensen方法--简单迭代法的加速192

3 Newton法与弦截法193

3.1 Newton法193

3.2 弦截法195

4 抛物线法(Muller法)196

5 非线性方程组的解法198

5.1 解非线性方程组的Newton法198

5.2 最速下降法199

习题八201

第九章 常微分方程数值解法204

1 欧拉(Euler)方法205

1.1 Euler方法205

1.2 Euler方法的误差估计207

2.2 改进Euler法208

2.1 梯形公式208

2 改进的Euler方法208

3 龙格-库塔(Runge-Kurrs)法210

3.1 Runge-Kutta法的基本思想210

3.2 RK方法的构造211

3.3 变步长的RK方法213

4 线性多步法214

4.1 线性多步公式的导出214

4.2 常用的线性多步公式216

4.3 预测-校正系统220

5.1 相容性与收敛性222

5 相容性、收敛性与稳定性222

5.2 稳定性224

6 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法227

6.1 一阶微分方程组的数值解法227

6.2 高阶微分方程的数值解法228

习题九230

第十章 偏微分方程数值解法233

1 差分方法的基本概念233

1.1 偏微分方程的定解问题233

1.2 差分方法的基本概念234

2.1 差分格式的建立236

2 椭圆型方程第一边值问题的差分解法236

2.2 差分格式解的存在唯一性240

3 抛物型方程的差分解法及其稳定性241

3.1 差分格式的建立241

3.2 差分格式的稳定性246

4 双曲型方程的差分解法248

4.1 几种简单的差分格式249

4.2 差分格式的收敛性与稳定性251

4.3 利用特征线构造差分格式253

习题十254

参考文献257