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第1章 函数与极限1

1.1 教学基本要求1

1.2 本章导学1

1.3 知识点精要2

1.3.1 函数2

1.3.2 极限3

1.3.3 函数的连续性6

1.4 疑难问题及常见错误例析8

1.5 典型例题解析10

1.5.1 函数的概念10

1.5.2 求极限的方法11

1.5.3 极限的存在性15

1.5.4 已知函数的极限值，确定函数中的常数15

1.5.5 无穷小的阶16

1.5.6 函数连续性判断17

1.5.7 闭区间上连续函数性质的应用18

1.6 同步习题及解答20

1.6.1 同步习题20

1.6.2 同步习题解答22

1.7 数学史料26

第2章 导数与微分27

2.1 教学基本要求27

2.2 本章导学27

2.3 知识点精要28

2.3.1 一元函数的导数28

2.3.2 一元函数的微分30

2.4 疑难问题及常见错误例析31

2.5 典型例题解析33

2.5.1 函数导数的计算33

2.5.2 利用导数定义求极限39

2.5.3 讨论函数的可导性40

2.5.4 已知函数的导数，确定函数中的常数40

2.5.5 导数的应用41

2.5.6 函数的微分42

2.5.7 函数的微分应用43

2.6 同步习题及解答44

2.6.1 同步习题44

2.6.2 同步习题解答45

2.7 数学史料48

第3章 微分中值定理与导数的应用49

3.1 教学基本要求49

3.2 本章导学49

3.3 知识点精要50

3.3.1 中值定理50

3.3.2 导数的应用50

3.4 疑难问题及常见错误例析53

3.5 典型例题解析56

3.5.1 中值定理的相关问题56

3.5.2 利用洛必达法则求极限58

3.5.3 不等式的证明60

3.5.4 函数的单调性62

3.5.5 函数的极值和最值63

3.5.6 函数的凹凸性和拐点65

3.6 同步习题及解答66

3.6.1 同步习题66

3.6.2 同步习题解答67

3.7 数学史料68

第4章 不定积分70

4.1 教学基本要求70

4.2 本章导学70

4.3 知识点精要71

4.3.1 不定积分的基本概念与性质71

4.3.2 不定积分的计算方法71

4.4 疑难问题及常见错误例析74

4.5 典型例题解析76

4.5.1 原函数和不定积分的概念76

4.5.2 直接积分法76

4.5.3 第一类换元积分法77

4.5.4 第二类换元积分法79

4.5.5 分部积分法82

4.5.6 有理函数的积分83

4.5.7 三角函数有理式的积分84

4.6 同步习题及解答86

4.6.1 同步习题86

4.6.2 同步习题解答87

4.7 数学史料90

第5章 定积分91

5.1 教学基本要求91

5.2 本章导学91

5.3 知识点精要92

5.3.1 定积分的概念和性质92

5.3.2 微积分基本公式92

5.3.3 定积分的计算方法93

5.3.4 主要结论94

5.3.5 反常积分94

5.4 疑难问题及常见错误例析95

5.5 典型例题解析97

5.5.1 定积分的概念与性质的应用97

5.5.2 变限积分的求导问题98

5.5.3 定积分的计算100

5.5.4 反常积分的计算105

5.6 同步习题及解答105

5.6.1 同步习题105

5.6.2 同步习题解答107

5.7 数学史料110

第6章 定积分的应用111

6.1 教学基本要求111

6.2 本章导学111

6.3 知识点精要111

6.3.1 元素法111

6.3.2 定积分的几何应用111

6.3.3 定积分的物理应用113

6.4 疑难问题及常见错误例析114

6.5 典型例题解析117

6.5.1 几何应用117

6.5.2 物理应用122

6.6 同步习题及解答125

6.6.1 同步习题125

6.6.2 同步习题解答128

6.7 数学史料131

第7章 微分方程132

7.1 教学基本要求132

7.2 本章导学132

7.3 知识点精要133

7.3.1 微分方程的基本概念133

7.3.2 一阶微分方程133

7.3.3 高阶微分方程134

7.4 疑难问题及常见错误例析137

7.5 典型例题解析138

7.5.1 一阶微分方程的解法138

7.5.2 高阶微分方程的解法146

7.6.1 同步习题146

7.6.2 同步习题解答147

7.7 数学史料149

第8章 空间解析几何与向量代数150

8.1 教学基本要求150

8.2 本章导学150

8.3 知识点精要151

8.3.1 向量代数151

8.3.2 空间曲面与空间曲线152

8.3.3 平面与空间直线153

8.4 疑难问题及常见错误例析155

8.5 典型例题解析157

8.5.1 空间直角坐标系与向量代数157

8.5.2 空间曲面与空间曲线159

8.5.3 平面与空间直线161

8.6 同步习题及解答167

8.6.1 同步习题167

8.6.2 同步习题解答169

8.7 数学史料171

第9章 多元函数微分法及其应用174

9.1 教学基本要求174

9.2 本章导学174

9.3 知识点精要175

9.3.1 二元函数的极限与连续性175

9.3.2 多元函数的微分法176

9.3.3 方向导数与梯度179

9.3.4 多元函数微分法的应用180

9.4 疑难问题及常见错误例析183

9.5 典型例题解析185

9.5.1 二元函数的概念185

9.5.2 二元函数的极限的求法185

9.5.3 多元函数的连续性的讨论187

9.5.4 二元函数极限、连续、可偏导、可微之间关系的讨论188

9.5.5 函数偏导数的求法188

9.5.6 方向导数与梯度的求法195

9.5.7 微分法的应用195

9.6 同步习题及解答199

9.6.1 同步习题199

9.6.2 同步习题解答201

9.7 数学史料204

第10章 重积分205

10.1 教学基本要求205

10.2 本章导学205

10.3 知识点精要205

10.3.1 二重积分205

10.3.2 三重积分207

10.3.3 重积分的应用208

10.4 疑难问题及常见错误例析209

10.5 典型例题解析210

10.5.1 二重积分210

10.5.2 三重积分218

10.5.3 重积分的应用226

10.6 同步习题及解答229

10.6.1 同步习题229

10.6.2 同步习题解答231

10.7 数学史料233

第11章 曲线积分与曲面积分234

11.1 教学基本要求234

11.2 本章导学234

11.3 知识点精要235

11.3.1 曲线积分235

11.3.2 曲面积分239

11.4 疑难问题及常见错误例析243

11.5 典型例题解析246

11.5.1 对弧长的曲线积分246

11.5.2 对坐标的曲线积分248

11.5.3 对面积的曲面积分254

11.5.4 对坐标的曲面积分256

11.5.5 曲线积分与曲面积分的应用260

11.6 同步习题及解答262

11.6.1 同步习题262

11.6.2 同步习题解答264

11.7 数学史料268

第12章 无穷级数269

12.1 教学基本要求269

12.2 本章导学269

12.3 知识点精要270

12.3.1 常数项级数270

12.3.2 函数项级数273

12.4 疑难问题及常见错误例析277

12.5 典型例题解析280

12.5.1 常数项级数敛散性的判定280

12.5.2 求函数项级数的收敛域288

12.5.3 求幂级数的收敛域289

12.5.4 求幂级数的和函数291

12.5.5 求函数的幂级数展开式293

12.5.6 求函数的傅里叶级数的和函数295

12.5.7 将函数展开成傅里叶级数296

12.5.8 级数应用299

12.6 同步习题及解答302

12.6.1 同步习题302

12.6.2 同步习题解答304

12.7 数学史料310

参考文献312