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第一篇 矩阵演算和线性代数的基本原理1

第1章 矩阵和线性方程1

1.数值矩阵及其运算1

1.基本概念及定义1

2.矩阵的性质3

2.行列式及其性质5

1.反序及排列5

2.n阶行列式6

3.行列式的性质7

4.子式和代数余子式10

5.某些行列式的计算13

6.矩阵的秩 逆矩阵及其性质15

3.关于函数矩阵的概念19

1.函数矩阵 微分方程的向量写法19

2.自动调节系统微分方程的向量写法的例子23

3.λ矩阵的性质27

4.分块矩阵32

4.线性方程组34

1.基本概念和定义34

2.高斯法34

3.具有n个未知数的n个线性方程的方程组39

4.克莱姆法则40

第2章 线性空间与线性变换43

5.线性空间43

1.线性空间的定义及主要性质43

2.线性独立向量 线性空间的维数44

3.线性空间的基底45

4.子空间及其性质 线性流形50

6.线性空间的线性变换50

1.线性变换的定义及基本性质50

2.线性变换的特征向量和特征值57

3.把方阵化为对角线形式60

4.约当标准型66

第3章 欧氏空间及二次型73

7.欧氏空间与酉空间73

1.酉空间的定义及性质73

2.向量的长度，向量的正交性74

3.矩阵的范数 指数矩阵77

4.柯西-布尼亚柯夫斯基不等式79

5.对称变换和正交变换80

8.二次型83

1.二次型的定义及基本性质83

2.二次型的标准形式85

3.正定的二次型87

4.拉格朗日法88

第二篇 微分方程与自动调节系统的稳定性91

第4章 微分方程的理论基础91

9.关于微分方程的一般知识91

1.微分方程 解的几何解释91

2.正规微分方程组92

10.存在性和唯一性定理94

1.齐次方程解的存在性和唯一性定理94

2.正规方程组的解的存在性和唯一性定理99

3.欧拉折线及e近似解100

4.解与初始条件和参数的连续相依性定理103

11.线性微分方程105

1.正规的线性微分方程组105

2.线性齐次方程组的通解105

3.朗斯基行列式 刘维尔公式107

4.线性非齐次方程组 任意常数的变易法110

5.柯西公式111

6.n阶线性方程114

7.线性齐次微分方程组的降阶118

12.常系数线性微分方程120

1.正规的常系数线性齐次方程组120

2.齐次方程组的基本矩阵124

3.正规的常系数线性非齐次方程组126

4.n阶常系数线性方程132

5.常系数线性微分方程组135

13.解非线性微分方程的某些方法140

1.逐次逼近法140

2.欧拉折线法142

3.利用幂级数解方程143

4.降阶法144

5.相平面法145

6.谐波线性化方法145

14.自治的微分方程组的相轨迹146

1.自治的微分方程组的相空间146

2.二阶自治的微分方程组的相轨迹149

第5章 自动调节系统的微分方程160

15.自动调节系统的微分方程的列写方法160

1.综述160

2.系统元件的微分方程的列写及线性化160

3.自动调节系统的元件的算子 传递函数172

4.环节的分类173

5.自动调节系统的微分方程的列写175

16.自动调节系统中的过程179

1.自动调节系统的微分方程179

2.线性系统中的过程181

3.方程右边含有间断函数的导数的线性微分方程187

4.脉冲过渡函数190

5.非线性系统中过程的特点194

第6章 自动调节系统的稳定性199

17.运动稳定性的概念199

1.按李雅普诺夫意义的稳定性199

2.平凡解的稳定性200

18.线性系统的稳定性201

1.齐次方程组的稳定性201

2.非齐次方程组的稳定性202

3.常系数线性方程组的稳定性203

4.霍尔维茨准则204

19.李雅普诺夫的第二方法208

1.定号函数和常号函数209

2.关于稳定性的李雅普诺夫定理210

3.关于渐近稳定性的李雅普诺夫定理211

4.关于不稳定性的李雅普诺夫定理212

20.根据一次近似方程研究稳定性212

1.一次近似方程212

2.按一次近似决定稳定性的李雅普诺夫定理213

21.利用李雅普诺夫第二方法研究非线性自动调节系统的稳定性216

1.非线性系统的方程 平衡状态216

2.把运动方程化为标准形式219

3.平衡状态稳定性的充分条件219

第三篇 复变函数理论基础226

第7章 复变函数226

22.复数及其运算226

1.复数 复数的几何解释226

2.复数的模和幅角226

3.加法、减法、乘法和除法227

4.乘方和求根228

23.关于复变函数的概念230

1.复数序列 无穷远点230

2.平面上的点的集合231

3.复变函数231

24.复变函数的微分234

1.复变函数的导数234

2.柯西-黎曼条件235

3.调和函数237

4.导数的幅角和模的几何意义238

25.初等复变函数239

1.线性函数和线性分式函数239

2.指数函数和对数函数244

3.幂函数246

4.三角函数248

第8章 复变函数的积分法249

26.复变函数的积分249

1.关于复变函数积分的概念249

2.柯西积分定理250

27.柯西公式254

1.柯西公式 均值定理254

2.与参数有关的积分255

3.高阶导数256

4.摩勒尔定理257

第9章 函数级数258

28.数值级数和函数级数258

1.数值复级数258

2.函数级数259

3.维尔斯特拉斯定理260

29.幂级数260

1.柯西-柯达马定理260

2.阿贝耳定理261

3.泰勒级数262

30.罗朗级数264

31.奇异点266

1.奇异点的分类266

2.在奇异点的邻域内展成罗朗级数267

第10章 留数理论272

32.留数定理272

1.留数的概念 确定关于极点的留数的一般公式272

2.留数定理273

3.应用留数计算非正常积分274

33.幅角增量原理284

1.对数留数284

2.幅角增量原理285

3.儒歇定理286

参考文献287

索引288