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第1章 函数1

1.1 函数概念1

1.1.1 函数举例1

1.1.2 函数的定义与表示法2

1.1.3 建立函数关系举例3

习题1.14

1.2 函数的几个特性6

1.2.1 函数的奇偶性6

1.2.2 函数的单调性6

1.2.3 函数的有界性7

1.2.4 函数的周期性8

习题1.29

1.3 反函数10

习题1.312

1.4 基本初等函数13

习题1.415

1.5 复合函数 初等函数16

1.5.1 复合函数16

1.5.2 初等函数17

习题1.519

第2章 极限与连续20

2.1 数列及其极限20

2.1.1 数列20

2.1.2 数列的极限21

2.1.3 几何解释23

2.1.4 证明数列极限的例题24

2.1.5 数列的有界性26

2.1.6 数列极限的四则运算法则27

2.1.7 关于数列的变化趋势的小结29

习题2.130

2.2 函数的极限31

2.2.1 自变量绝对值无限增大时函数的极限31

2.2.2 当自变量趋近于有限值时函数的极限33

2.2.3 单侧极限36

2.2.4 函数极限不存在的几种情形37

习题2.237

2.3 无穷小和无穷大38

2.3.1 无穷小38

2.3.2 具有极限的变量与无穷小的关系38

2.3.3 无穷大39

2.3.4 无穷大与无穷小的关系39

2.3.5 无穷小的运算法则40

习题2.342

2.4 函数极限的运算法则43

2.4.1 函数极限的简单性质43

2.4.2 函数极限的运算法则43

习题2.450

2.5 极限存在的两个判定法则 两个重要极限51

习题2.556

2.6 无穷小的比较57

习题2.660

2.7 函数连续性的概念61

2.7.1 函数连续性的定义61

2.7.2 函数的间断点64

习题2.767

2.8 连续函数的运算和初等函数的连续性68

2.8.1 连续函数的和差积商的连续性68

2.8.2 反函数和复合函数的连续性68

2.8.3 初等函数的连续性69

习题2.871

2.9 闭区间上连续函数的性质72

2.9.1 最大值最小值定理72

2.9.2 介值定理73

习题2.973

第3章 导数与微分74

3.1 导数的概念74

3.1.1 函数瞬时变化率问题实例74

3.1.2 导数的定义76

3.1.3 计算导数举例77

3.1.4 导数的几何意义及其在几何上的应用79

3.1.5 函数的可导性与连续性之间的关系80

习题3.182

3.2 导数的运算83

3.2.1 函数和、差的求导法则83

3.2.2 函数乘积的导数84

3.2.3 两函数之商的导数85

3.2.4 复合函数的导数86

习题3.290

3.3 反函数的导数 初等函数的求导问题91

3.3.1 反函数的导数91

3.3.2 反三角函数的导数93

3.3.3 初等函数的求导问题94

3.3.4 导数的实际应用举例95

习题3.397

3.4 高阶导数99

习题3.4101

3.5 隐函数的导数 参数方程所确定的函数的导数102

3.5.1 隐函数的导数102

3.5.2 对数求导法104

3.5.3 由参数方程所确定的函数的导数105

习题3.5107

3.6 微分的概念与计算108

3.6.1 微分的概念109

3.6.2 微分的几何意义110

3.6.3 微分公式表与微分运算法则111

3.6.4 一阶微分形式不变性111

习题3.6113

3.7 微分的应用115

3.7.1 微分在近似计算中的应用115

3.7.2 微分在误差估计中的应用116

习题3.7118

第4章 中值定理和导数的应用119

4.1 中值定理119

4.1.1 罗尔定理119

4.1.2 拉格朗日中值定理121

4.1.3 柯西中值定理123

习题41125

4.2 洛必达法则126

4.2.1 0/0型未定式126

4.2.2 ∞/∞型未定式129

4.2.3 其他类型未定式131

习题4.2134

4.3 函数单调性的判定法135

习题4.3137

4.4 函数的极值及其求法138

4.4.1 极值的概念138

4.4.2 极值的求法139

习题4.4143

4.5 最大值和最小值的求法144

习题4.5148

4.6 曲线的凹凸性和拐点149

习题4.6152

4.7 函数图形的描绘153

习题4.7157

4.8 方程的近似解158

习题4.8161

4.9 平面曲线的曲率162

4.9.1 弧微分162

4.9.2 曲率及其计算公式163

4.9.3 曲率圆和曲率半径165

习题4.9167

第5章 不定积分168

5.1 不定积分的概念168

5.1.1 原函数的概念168

5.1.2 不定积分的概念169

5.1.3 不定积分的几何意义170

习题5.1171

5.2 基本积分表和最简单的积分法则172

5.2.1 基本积分表172

5.2.2 最简单的积分法则173

习题5.2176

5.3 第1类换元积分法177

习题5.3183

5.4 第2类换元积分法185

习题5.4189

5.5 分部积分法190

习题5.5194

5.6 有理函数的不定积分195

5.6.1 最简分式和它们的不定积分195

5.6.2 有理函数的分解198

5.6.3 有理函数的不定积分199

习题5.6203

5.7 三角函数有理式的不定积分204

习题 5.7205

5.8 简单无理式的不定积分206

习题5.8207

5.9 积分表的使用208

习题5.9210

第6章 定积分及其应用211

6.1 定积分的概念211

6.1.1 两个实例211

6.1.2 定积分的定义214

6.1.3 定积分的几何意义216

6.1.4 按定义求定积分的例216

习题6.1217

6.2 定积分的基本性质218

习题6.2220

6.3 牛顿-莱布尼茨公式221

6.3.1 变上限定积分及其导数221

6.3.2 牛顿-莱布尼茨公式222

习题6.3226

6.4 定积分的换元积分法和分部积分法227

6.4.1 定积分的换元积分法227

6.4.2 定积分的分部积分法230

习题6.4233

6.5 定积分的近似计算234

6.5.1 矩形法234

6.5.2 梯形法234

6.5.3 抛物线法235

习题6.5237

6.6 极坐标238

6.6.1 极坐标系238

6.6.2 曲线的极坐标方程239

6.6.3 极坐标和直角坐标的互化240

6.6.4 等速螺线241

习题6.6243

6.7 定积分在几何上的应用244

6.7.1 平面图形的面积244

6.7.2 体积251

6.7.3 平面曲线的弧长253

习题6.7256

6.8 定积分在物理上的应用257

6.8.1 已知速度求路程257

6.8.2 变力所做的功257

6.8.3 静止液体内的压力258

6.8.4 平均值260

习题6.8263

6.9 广义积分264

6.9.1 无穷限的广义积分264

6.9.2 无界函数的广义积分267

6.9.3 无穷限广义积分的审敛法270

6.9.4 无界函数的广义积分的审敛法273

6.9.5 Γ-函数274

习题6.9276

附录 积分表277

部分习题答案或提示286

索引299