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第一部分 数理逻辑1

第1章 命题逻辑演算系统1

1.1 命题逻辑演算系统的概念1

1.1.1 命题1

1.1.2 联结词4

1.2 命题公式与真值表8

1.2.1 命题公式与命题函数8

1.2.2 命题公式的真值表10

1.2.3 永真式与永假式12

1.2.4 其他联结词13

1.2.5 最小联结词组14

1.3 等价式与蕴含式16

1.3.1 命题公式的等价16

1.3.2 命题公式的蕴含17

1.3.3 等价的判定18

1.3.4 蕴含的判定19

1.4 范式与对偶式21

1.4.1 对偶公式21

1.4.2 范式23

1.4.3 主范式24

1.5 命题演算的推理理论29

1.5.1 有效推理的概念29

1.5.2 推理过程30

习题35

第2章 一阶谓词逻辑演算系统39

2.1 谓词命题39

2.1.1 原子命题的谓词表示39

2.1.2 量词40

2.1.3 论域41

2.1.4 含量词的谓词命题42

2.2 谓词命题公式及约束变元44

2.2.1 谓词命题公式44

2.2.2 谓词公式的解释与赋值45

2.2.3 谓词公式的等价与蕴含47

2.2.4 约束变元与自由变元48

2.2.5 代入实例49

2.3 谓词逻辑演算的等价式和蕴含式50

2.3.1 等价式与蕴含式51

2.3.2 多元谓词及其量词52

2.3.3 前束范式与Skolem范式53

2.4 谓词逻辑演算的推理理论54

2.4.1 谓词逻辑的有效推理55

2.4.2 卸下、添加量词的规则55

习题60

第二部分 集合论63

第3章 集合与关系63

3.1 集合及集合运算63

3.1.1 集合的概念63

3.1.2 集合的表示法64

3.1.3 集合公理64

3.1.4 集合的运算69

3.1.5 集合运算的性质71

3.2 三个基本原理74

3.2.1 排列组合的复习74

3.2.2 鸽巢原理76

3.2.3 包含排斥原理76

3.2.4 生成函数78

3.3 笛卡儿积与关系81

3.3.1 序偶与笛卡儿积81

3.3.2 关系的概念84

3.3.3 关系的表示85

3.3.4 关系的性质86

3.4 关系的运算89

3.4.1 关系的集合运算89

3.4.2 关系的复合运算90

3.4.3 关系的逆运算93

3.4.4 关系的闭包运算95

3.5 等价关系与相容关系99

3.5.1 划分与覆盖99

3.5.2 等价关系与等价类101

3.5.3 相容关系与相容类104

3.6 次序关系106

3.6.1 偏序关系106

3.6.2 HASSE图107

3.6.3 上确界与下确界109

3.6.4 良序关系110

习题111

第4章 函数117

4.1 函数的概念117

4.1.1 函数的定义117

4.1.2 函数的特性119

4.2 复合函数与逆函数121

4.2.1 复合函数121

4.2.2 逆函数122

4.2.3 函数的运算性质123

4.3 序数与自然数124

4.3.1 等势与劣势124

4.3.2 自然数126

4.3.3 序数129

4.4 基数131

4.4.1 关于基数131

4.4.2 可数集与不可数集132

4.4.3 基数的比较134

习题136

第三部分 代数系统138

第5章 代数结构138

5.1 置换及其运算138

5.1.1 置换与轮换138

5.1.2 轮换的运算性质及方法141

5.1.3 几个轮换运算的等式145

5.2 数论初步145

5.2.1 整数145

5.2.2 辗转相除法147

5.2.3 整数的互质性149

5.2.4 整数的同余性150

5.3 代数系统的概念154

5.3.1 代数系统154

5.3.2 子代数系统158

5.4 代数结构与子结构159

5.4.1 代数结构159

5.4.2 子代数结构165

5.5 同态、同构与同余167

5.5.1 同态与同构167

5.5.2 同余关系171

5.6 几种典型的群174

5.6.1 交换群174

5.6.2 循环群175

5.6.3 置换群176

5.6.4 变换群与Cayley定理178

5.7 陪集与拉格朗日定理179

5.7.1 陪集180

5.7.2 拉格朗日定理181

5.7.3 正规子群183

5.7.4 同态定理185

5.8 商代数与积代数186

5.8.1 商代数186

5.8.2 积代数187

5.9 环与域188

5.9.1 环189

5.9.2 整环和域190

5.9.3 环同态与理想192

习题194

第6章 格与布尔代数200

6.1 格的概念200

6.1.1 格与子格200

6.1.2 格的性质203

6.1.3 格的同态206

6.2 几种典型的格208

6.2.1 分配格209

6.2.2 模格211

6.2.3 有界格213

6.2.4 有补格214

6.2.5 布尔格215

6.3 Stone表示定理219

6.4 布尔表达式221

6.4.1 布尔表达式的定义221

6.4.2 布尔函数222

6.4.3 布尔表达式的析取范式与合取范式223

习题226

第四部分 图论229

第7章 图论229

7.1 图的基本概念229

7.1.1 图的概念与定义229

7.1.2 常用术语230

7.1.3 顶的度数232

7.1.4 子图与补图233

7.1.5 图同构234

7.1.6 图的运算235

7.2 路与连通性237

7.2.1 路与通路237

7.2.2 无向连通238

7.2.3 有向连通241

7.3 图的矩阵243

7.3.1 邻接矩阵243

7.3.2 完全关联矩阵245

7.3.3 可达矩阵249

7.3.4 回路矩阵250

7.3.5 割集矩阵251

7.4 欧拉图与哈密尔顿图252

7.4.1 欧拉图253

7.4.2 哈密尔顿图256

7.5 树及其应用259

7.5.1 无向树259

7.5.2 生成树262

7.5.3 生成树的个数264

7.5.4 有向树及根树267

7.5.5 Huffman树269

7.5.6 树的应用270

7.6 通路问题272

7.6.1 关键路径272

7.6.2 最短通路274

7.6.3 最优通路276

7.7 平面图279

7.7.1 平面图的概念279

7.7.2 对偶图281

7.8 图的着色282

7.8.1 色数与五色定理283

7.8.2 色多项式284

7.9 二分图与匹配288

7.9.1 独立集与二分图288

7.9.2 匹配289

7.10 网络流293

7.10.1 网络流的概念294

7.10.2 最大流与最小割295

习题298

中英文索引306

参考文献316