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序篇 微积分发展简史1

一、微积分的前史1

二、微积分的创立6

三、18世纪的微积分10

四、微积分的严格化12

第一章 重要基本概念的分析15

第一节 对确界概念的认识15

一、有界数集与无界数集的描述15

二、确界概念的分析16

三、确界原理19

第二节 怎样学好极限的概念20

一、数列极限概念的分析21

二、函数极限概念的分析30

三、数列极限与函数极限的统一45

第三节 如何理解函数的连续性46

一、函数在一点连续的意义47

二、一致连续定义的分析54

第四节 否定命题的描述60

一、什么是否定命题60

二、用肯定语气描述否定命题61

三、几个重要的否定命题64

四、如何运用否定命题69

第五节 如何认识级数收敛的概念73

一、级数的收敛与发散73

二、级数收敛与数列收敛的关系75

三、绝对收敛与条件收敛76

第六节 正确理解一致收敛性77

一、函数列的一致收敛性77

二、含参变量广义积分的一致收敛性84

第二章 基本理论的专题剖析88

第一节 海涅定理及其应用88

一、海涅定理的含义88

二、海涅定理的证明分析90

三、海涅定理的各种情形93

四、海涅定理的应用94

第二节 实数连续性定理的等价性99

第三节 实数连续性定理的运用106

一、致密性定理的运用106

二、区间套定理的运用111

三、有限覆盖定理的运用114

四、确界原理的运用118

第四节 一致收敛级数性质的理论分析122

一、和函数的连续性122

二、逐项可积性126

三、逐项可微性130

四、一致收敛积分与一致收敛级数的关系133

第五节 微分与积分的关系138

一、求导数与求原函数的互逆关系138

二、微积分基本定理的启示141

三、导数与不定积分计算方法的联系143

第三章 常用思考方法145

第一节 分析和综合的方法145

一、思路相反的两种方法145

二、用导数证明不等式的思路151

三、分析法与综合法的联合运用164

第二节 从特殊到一般的方法175

一、从柯西不等式的证明谈起175

二、由特殊情况发现解题思路177

第三节 分段处理的方法190

一、什么是分段处理的方法190

二、分段处理方法的具体运用192

第四节 类比的方法205

一、从一道试题看什么是类比法205

二、运用类比法思考问题209

三、运用类比法探求新知识218

第五节 数形结合的方法222

一、导数几何意义的利用222

二、定积分几何意义的利用231

第六节 从反面考虑的方法239

一、反证法的运用239

二、反例的运用248

第四章 典型方法和常用技巧250

第一节 怎样掌握验证极限的方法250

第二节 如何运用极限定义论证问题264

一、基本的数列极限论证问题264

二、复合函数求极限定理的论证270

三、分步处理的极限论证问题274

第三节 柯西收敛准则的运用281

第四节 数列极限的运算技巧287

一、不等式的运用288

二、求和求积的运用296

三、特殊方法的运用303

第五节 计算不定式极限的方法和技巧313

一、无穷小代换法则的运用314

二、洛必达法则的使用技巧321

三、泰勒公式的运用327

第六节 最大最小值问题330

一、函数最大值与最小值的判断331

二、解决最大最小值问题的一般方法334

第七节 级数收敛性的判断技巧338

一、正项级数收敛性的判断338

二、变号级数收敛性的判断343

第八节 函数列与函数项级数一致收敛性的判定346

一、判定函数列一致收敛的方法346

二、判定函数列不一致收敛的方法352

三、判定函数项级数一致收敛的方法357

四、判定函数项级数不一致收敛的方法361

第九节 多元微分学中的两类问题365

一、函数可微性的证明365

二、偏导数恒等式的证明367

第十节 怎样掌握曲面积分的计算373

一、第一类曲面积分的计算373

二、第二类曲面积分的计算376

第十一节 利用对称性简化积分的计算385

一、对称几何体上黎曼积分的一个定理385

二、利用对称性计算积分的技巧389

第十二节 含参变量积分的计算392

第十三节 几个著名不等式及其应用398

一、平均值不等式399

二、柯西不等式401

三、扬不等式403

四、赫尔德不等式404

第五章 习题与试题选编407

第一节 选择题407

第二节 计算题与证明题419

第三节 综合自测题458

一、一元函数微积分458

二、级数与广义积分462

三、多元函数微积分467

第四节 中山大学数学系招考硕士研究生数学分析试题471

一、1994年试题471

二、1995年试题476

三、1995年试题（港澳台考生）480

四、1996年试题482

五、1997年试题486

六、1998年试题489

附录 习题与试题答案493

参考文献509