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1 绪论1

1.1 概念1

1.2 三类典型方程的导出3

1.3 偏微分方程定解问题的提法和适定性问题9

1.3.1 定解问题的提法9

1.3.2 适定性问题15

1.4 叠加原理17

1.5 二阶线性偏微分方程的分类和化简19

1.5.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简19

1.5.2 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类29

习题131

2 波动方程的初值问题与行波法35

2.1 一维波动方程的初值(柯西)问题35

2.1.1 达朗贝尔(D Alembert)公式35

2.1.2 波的传播、依赖区间、决定区域和影响区域36

2.1.3 无界弦的受迫振动和齐次化原理39

2.1.4 半无界弦的振动问题41

2.2 三维波动方程的初值问题和球面波44

2.2.2 三维波动方程的泊松(Poisson)公式45

2.2.1 三维波动方程的球对称解45

2.2.3 泊松公式的物理意义48

2.2.4 非齐次方程的初值问题和推迟势49

2.3 二维波动方程的初值问题和降维法50

2.4 依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥53

习题255

3 分离变量法59

3.1 预备知识59

3.1.1 分段连续函数和分段光滑函数59

3.1.2 偶函数和奇函数，偶延拓和奇延拓60

3.1.3 周期函数61

3.1.4 正交函数系和傅里叶级数展开62

3.2 齐次方程和齐次边界条件的定解问题70

3.2.1 波动方程的初边值问题71

3.2.2 热传导方程的初边值问题81

3.2.3 圆域内拉普拉斯(Laplace)方程的边值问题84

3.3 非齐次方程的定解问题86

3.4 非齐次边界条件的处理92

3.5 Sturm-Liouville问题97

习题3101

4.1 Laplace方程定解问题的提法106

4 调和方程与格林(Green)函数法106

4.2 Green公式和应用107

4.2.1 Green公式107

4.2.2 调和方程的基本解和解的积分表达式109

4.3 Green函数的性质111

4.4 一些特殊区域上的Green函数和Dirichlet问题的解115

习题4121

5.1 傅里叶积分和傅里叶变换123

5 积分变换法123

5.2 傅里叶变换的性质128

5.3 傅里叶变换应用举例131

5.4 拉普拉斯变换与性质135

5.5 拉普拉斯变换应用举例140

习题5143

6 极值原理和应用146

6.1 热传导方程的极值原理与应用146

6.2 拉普拉斯方程的极值原理与应用153

习题6155

7 能量积分方法和应用157

7.1 热传导方程和调和方程中的能量方法与应用157

7.2 波动方程中的能量方法与应用159

7.3 初值问题解的唯一性和稳定性164

习题7168

8 贝塞尔函数和勒让德函数及其应用170

8.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数170

8.1.1 贝塞尔方程及其求解170

8.1.2 贝塞尔函数的递推公式及性质175

8.2 贝塞尔函数应用举例185

8.3 勒让德方程与勒让德函数195

8.3.1 勒让德方程及其求解195

8.3.2 勒让德函数及其性质199

8.4 勒让德多项式应用举例210

习题8215

部分习题提示与答案218

附录Ⅰ 傅里叶积分变换表229

附录Ⅱ 拉普拉斯积分变换表231

参考文献234