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第一章 数学模型概论1

1．1 模型2

1．2 数学模型2

1．3 建立数学模型的一般方法6

习题6

第二章 数据处理7

2．1 插值法7

2．1．1 概述7

2．1．2 拉格朗日插值8

2．1．3 差商与牛顿插值公式12

2．1．4 差分与等距节点插值公式15

2．1．5 分段插值法18

2．1．6 三次样条插值函数20

2．2 数值微分24

2．2．1 用差商近似微商25

2．2．2 用插值函数计算微商26

2．2．3 用三次样条函数求数值微分28

2．3 数值积分30

2．3．1 等距节点求积公式(Newton-Cotes公式)31

2．3．2 求积公式的代数精度33

2．3．3 复化求积公式34

2．3．4 变步长求积方法37

2．3．5 求积公式的误差38

2．3．6 龙贝格(Romberg)积分法39

2．4 最小二乘曲线拟合41

2．4．1 关联函数的选择和线性化42

2．4．2 线性最小二乘法43

2．4．3 非线性最小二乘法58

习题61

第三章 代数方程(组)的数值解法66

3．1 线性方程组的直接解法66

3．1．1 高斯消去法66

3．1．2 高斯主元素消去法69

3．1．3 高斯-约当消去法及矩阵求逆71

3．1．4 解三对角线方程组和三对角块方程组的追赶法72

3．1．5 LU分解76

3．1．6 平方根法78

3．1．7 病态方程组和病态矩阵80

3．2 线性方程组的迭代解法82

3．2．1 雅可比迭代法82

3．2．2 高斯-赛德尔迭代法83

3．2．3 基本迭代法的收敛性分析84

3．2．4 松弛迭代法(SOR迭代法)87

3．3 非线性方程求根89

3．3．1 二分法90

3．3．2 迭代法91

3．3．3 威格斯坦(Wegstein)法95

3．3．4 牛顿法97

3．3．5 弦截法99

3．3．6 抛物线法(Muller法)102

3．4．1 高斯-雅可比迭代法103

3．4 非线性方程组数值解103

3．4．2 高斯-赛德尔迭代法104

3．4．3 松弛迭代法104

3．4．4 威格斯坦法105

3．4．5 牛顿-拉夫森法106

习题108

第四章 常微分方程数值解112

4．1 引言112

4．2 初值问题113

4．2．1 尤拉法(Euler Methods)113

4．2．2 龙格-库塔法(Runge-Kutta Methods)121

4．2．3 线性多步法127

4．2．4 方法的比较134

4．2．5 一阶联立方程组与高阶方程134

4．2．6 刚性方程组136

4．3 边值问题139

4．3．1 打靶法139

4．3．2 有限差分法143

习题148

第五章 拉普拉斯变换153

5．1 定义和性质153

5．1．1 定义153

5．1．2 拉氏变换的存在条件153

5．1．3 性质155

5．2 拉氏逆变换求解方法162

5．2．1 拉氏逆变换的复反演积分——梅林-傅立叶定理162

5．2．2 用部分分式法求拉氏逆变换162

5．2．3 海维塞德(Heaviside)展开式163

5．2．4 卷积定理166

5．3 拉氏变换的应用167

5．3．1 求解常微分方程167

5．3．2 求解线性差分方程174

5．3．3 求解差分微分方程175

习题177

5．3．4 求解积分方程177

第六章 场论初步181

6．1 数量场和向量场181

6．1．1 数量场181

6．1．2 向量场181

6．2 向量的导数181

6．2．1 向量对于一个纯量的导数182

6．2．2 向量的求导公式182

6．2．3 向量的偏导数183

6．3 数量场的梯度184

6．3．1 数量场的等值面184

6．3．2 方向导数185

6．3．3 数量场的梯度185

6．3．4 梯度的运算性质187

6．4 向量场的散度189

6．4．1 向量场的通量189

6．4．2 向量场的散度189

6．4．4 散度的应用——流体的连续性方程191

6．4．3 散度的运算性质191

6．4．5 散度定理192

6．5 向量场的旋度193

6．5．1 向量场的环量193

6．5．2 向量场的旋度194

6．5．3 旋度的运算性质197

6．5．4 斯托克斯定理197

6．6 梯度、散度、旋度在柱、球坐标系的表达式199

6．6．1 球坐标系下梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符表达式199

6．6．2 柱坐标系下梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符表达式201

6．7 场论在化工中的应用202

6．7．1 三种常用的向量场202

6．7．2 流体运动方程207

6．7．3 热传导方程209

习题209

第七章 偏微分方程与特殊函数213

7．1 引言213

7．2 阶偏微分方程分类214

7．3 典型方程的建立215

7．3．1 波动方程215

7．3．2 热传导方程218

7．3．3 稳态方程221

7．4 定解条件和定解问题221

7．4．1 初始条件221

7．4．2 边界条件222

7．4．3 定解问题的提法225

7．5 线性迭加原理225

7．6 分离变量法226

7．7 非齐次边界条件的处理233

7．8 非齐次的泛定方程236

7．9 特殊函数及其在分离变量法中的应用239

7．9．1 贝塞尔方程及其解法239

7．9．2 贝塞尔函数245

7．9．3 贝塞尔函数化工应用实例251

7．9．4 勒让德方程及其解法256

7．9．5 勒让德多项式258

7．9．6 勒让德函数化工应用实例261

7．10 拉普拉斯变换法264

习题267

第八章 偏微分方程数值解275

8．1 抛物型方程的差分解法275

8．1．1 显式格式276

8．1．2 隐式格式277

8．1．3 六点格式(Crank-Nicolson法)278

8．1．4 边界条件281

8．1．5 联立方程组283

8．1．6 高阶近似法288

8．2 双曲型方程差分格式292

8．3 椭圆型方程的差分解法293

8．3．1 五点差分格式293

8．3．2 边界条件的处理294

8．3．3 不规则边界条件298

习题299

第九章 概率论与数理统计303

9．1 概率论基础303

9．1．1 随机事件及其概率303

9．1．2 随机变量及分布函数303

9．1．3 随机变量的数字特征312

9．1．4 化工过程应用实例317

9．2 统计基础320

9．2．1 总体和样本320

9．2．2 样本的数字特征320

9．2．3 统计量321

9．3 大数定律及中心极限定理324

9．3．1 切比雪夫不等式324

9．3．2 大数定律325

9．3．3 中心极限定理326

9．4．1 数学期望与方差的点估计327

9．4 参数估计327

9．4．2 估计量的评选标准328

9．4．3 参数的区间估计330

9．5 假设检验333

9．5．1 单尾检验与双尾检验334

9．5．2 关于平均值的检验335

9．5．3 两个平均值差别的检验337

9．5．4 关于方差σ~2的检验340

9．5．5 比较两个总体的方差341

习题341

第十章 数据校正技术344

10．1 绪论344

10．1．1 化工过程数据校正的意义及其应用范围344

10．1．2 数据校正技术的发展与近况344

10．1．3 预备知识345

10．2．1 稳态过程的数学模型350

10．2 稳态过程的数据校正350

10．2．2 线性问题求解351

10．2．3 化工过程数据的分类360

第十一章 图论364

11．1 图的基本概念364

11．2 图的矩阵表示366

11．2．1 关联矩阵366

11．3 赋权图与赋权图中的最短路径367

11．2．2 邻接矩阵367

11．4 树369

11．5 图的运算372

11．6 有向图374

习题376

第十二章 人工智能与专家系统377

12．1 基本概念377

12．1．1 人工智能377

12．1．2 知识378

12．1．3 专家系统378

12．2．1 产生式系统的基本结构379

12．2 知识的表示379

12．2．2 问题求解过程380

12．2．3 对产生式系统的应用与评价382

12．3 知识推理技术383

12．3．1 深度优先搜索法383

12．3．2 广度优先搜索法384

12．3．3 最佳优先搜索384

第十三章 人工神经网络及应用385

13．1 人工神经网络介绍385

13．2 人工神经网络的结构组成385

13．2．1 神经元数学模型386

13．2．2 普通BP网络的联接方式386

13．3 网络的训练与测试386

13．4 反向传播学习算法(BP)386

13．5 网络模型建立示例389

13．5．1 非线性曲线拟合方法389

13．5．2 人工神经网络建模391

13．6 人工神经网络与常规曲线拟合方法的区别393

13．7 人工神经网络模型在过程优化中的应用潜力393

13．7．1 故障诊断393

13．7．2 过程模拟393

13．7．3 人工神经网络模型在系统优化控制中的应用394

习题395

第十四章 模糊数学及应用396

14．1 模糊逻辑推理系统396

14．1．1 模糊集与隶属度(函数)396

14．1．2 模糊集合运算397

14．1．3 命题397

14．1．4 模糊逻辑与模糊推理398

14．1．5 去模糊399

14．2 酵母流加发酵中的模糊控制器399

14．3 模糊神经网络403

习题403

附录一 Γ函数404

附录404

附录二 拉普拉斯变换表406

附录三 向量和矩阵的范数408

附录四 概率函数分布表411

程序清单421

一、拉格朗日插值421

二、牛顿插值422

三、分段抛物插值423

四、三次自然样条函数插值、微商与积分424

五、复化梯形求积427

六、复化Simpson求积428

七、龙贝格求积430

八、 一元线性及非线性回归431

九、多元线性回归436

十、非线性最小二乘法440

十一、高斯-约当消去法求逆矩阵447

十二、解三对角线方程组THOMAS法448

十三、解三对角块方程组THOMAS法449

十四、LU分解求解线性方程组453

十五、平方根法求解线性方程组455

十六、计算矩阵的条件数456

十七、二分法方程求根459

十八、威格斯坦(Wegstein)法方程求根461

十九、牛顿法方程求根462

二十、弦截法方程求根464

二十一、抛物线(Muller)法方程求根465

二十二、松弛迭代解非线性方程组468

二十三、威格斯坦(Wegstein)法解非线性方程组470

二十四、牛顿-拉夫森法(Newton-Raphson)解方程组472

二十五、定步长基尔(Gill)法解一阶常微分方程组初值问题474

二十六、定步长哈明(Hamming)法解一阶常微分方程组初值问题476

二十七、变步长龙格-库塔方法求解一阶常微分方程组初值问题479

二十八、打靶法(SHOOT)解二阶常微分方程初值问题481

二十九、迭代法求解六点格式(Grank-Nicolson)487

参考文献491