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第1章 函数、极限和连续1

1.1函数1

一、函数的基本概念1

二、函数的基本特性2

三、函数的基本运算3

四、初等函数与分段函数5

五、无穷数列8

习题1.19

1.2极限的概念11

一、数列的极限11

二、自变量趋于无穷大时函数的极限14

三、自变量趋于有限值时函数的极限16

习题1.221

1.3无穷小与无穷大22

一、无穷小22

二、无穷大23

习题1.324

1.4极限的性质25

一、极限存在条件下函数的局部性质25

二、极限的性质26

习题1.427

1.5极限运算法则与极限存在准则28

一、极限的四则运算法则28

二、复合函数的极限运算法则32

三、极限存在准则34

习题1.5.35

1.6两个重要极限与等价无穷小替换的应用36

一、两个重要极限的应用36

二、无穷小等价替换的应用39

习题1.641

1.7极限的初步应用42

一、比较无穷小的阶42

二、求曲线的渐进线44

习题1.745

1.8函数的连续性与间断点46

一、函数连续的概念46

二、连续函数的运算与初等函数的连续性48

三、分段函数连续性的讨论49

四、函数的间断点50

习题1.852

1.9闭区间上连续函数的性质53

一、最值定理与有界定理54

二、介值定理与零点定理55

习题1.956

综合测试题一57

第2章 微分与导数60

2.1微分的概念与基本性质60

一、微分的概念60

二、微分的基本性质62

习题2.164

2.2导数的概念与基本性质65

一、导数的概念65

二、导数的意义69

三、导数的基本性质70

四、微分学基本概念的定义形式及其关系小结72

习题2.273

2.3导数与微分的运算法则74

一、基本导数公式与基本微分公式74

二、导数与微分的四则运算法则75

习题2.3（1）78

三、复合函数的求导法则与微分法则78

四、反函数的求导法则82

五、分段函数在分段点处导数的求法83

习题2.3（2）85

六、高阶导数87

习题2.3（3）90

2.4隐函数与参数方程确定的函数的导数及相关变化率90

一、隐式函数的导数90

二、参数函数的导数92

三、相关变化率95

习题2.496

综合测试题二97

第3章 微分中值定理和导数的应用102

3.1微分中值定理102

一、罗尔定理102

二、拉格朗日定理104

三、柯西定理106

习题3.1107

3.2函数的增减性与极值最大值与最小值109

一、函数的增减性109

二、函数的极值112

三、最大值与最小值114

四、解几何与实际问题中的最值问题116

习题3.2116

3.3曲线的凹凸性与拐点曲率118

一、曲线的凹凸性与拐点118

二、曲线的曲率121

习题3.3123

3.4函数图形的描绘124

一、直角坐标系下曲线的描绘124

二、极坐标系下曲线的描绘126

三、极坐标表示的曲线的切线斜率与曲率128

习题3.4128

3.5罗必达法则129

一、关于0/0和∞/∞型未定式的罗必达法则129

二、其他类型未定式的极限132

三、不能直接用罗必达法则计算的极限举例134

习题3.5135

3.6泰勒公式137

一、带皮亚诺余项的泰勒公式137

二、带拉格朗日余项的泰勒公式140

三、高阶微分的概念与高阶导数的记号143

习题3.6143

综合测试题三144

第4章 定积分与不定积分147

4.1定积分的概念与基本性质147

一、定积分的概念147

二、定积分的几何意义151

三、定积分的基本性质152

四、奇偶函数的定积分153

习题4.1154

4.2不定积分的概念与微积分基本定理155

一、原函数的概念156

二、不定积分的概念158

三、不定积分的基本性质159

四、牛顿—莱布尼兹公式160

习题4.2162

4.3积分公式与积分方法163

一、基本积分公式163

二、分项积分法164

三、分段积分法166

习题4.3（1）167

四、拼凑微分法168

习题4.3（2）175

五、分部积分法176

习题4.3（3）181

六、变量替换法182

七、积分法注记与特殊积分法191

习题4.3（4）193

4.4变限积分函数与定积分中值定理194

一、变限积分函数195

二、定积分中值定理198

三、积分学基本概念及其导数小结201

习题4.4201

4.5广义积分204

一、无限区间上的广义积分204

二、有无穷间断点的广义积分206

三、Γ函数与β函数208

习题4.5210

综合测试题四211

第5章 定积分的应用216

5.1定积分的微元法216

一、曲边梯形面积建立过程的简化216

二、微元法217

习题5.1218

5.2平面图形的面积218

一、直角坐标情形218

二、极坐标情形221

习题5.2222

5.3体积223

一、旋转体的体积223

二、平行截面面积为已知的立体的体积225

习题5.3226

5.4平面曲线的弧长与旋转曲面的面积227

一、平面曲线的弧长227

二、旋转曲面的面积228

习题5.4229

5.5定积分在物理上的应用230

一、变力沿直线作功230

二、液体静压力232

三、引力233

习题5.5234

综合测试题五235

第6章 微分方程238

6.1微分方程的基本概念238

一、微分方程及其阶238

二、微分方程的解、通解、特解与初始条件239

三、微分方程的形式240

习题6.1241

6.2一阶可分离变量的微分方程241

一、可分方程242

二、齐次方程243

习题6.2245

6.3一阶线性微分方程246

一、线性方程246

二、贝努利方程250

三、积分因子法的一个应用250

习题6.3251

6.4二阶可降阶的微分方程252

一、y″＝f（x，y′）型253

二、y″＝f（y，y′）253

习题6.4255

6.5二阶线性常系数微分方程255

一、二阶线性方程及其解的结构255

二、二阶线性常系数齐次方程的解法257

三、特殊的二阶线性常系数非齐次方程的解法260

四、一般的二阶线性常系数非齐次方程的解法265

五、欧拉方程266

习题6.5267

6.6微分方程的应用268

一、几何中的应用268

二、物理等问题中的应用270

习题6.6274

综合测试题六276

第7章 无穷级数280

7.1常数项级数的概念与性质280

一、常数项级数的概念280

二、收敛级数的基本性质283

三、级数收敛的必要条件284

习题7.1285

7.2数项级数的审敛法286

一、正项级数及其审敛法286

习题7.2（1）290

二、交错级数及其审敛法291

三、绝对收敛与条件收敛293

习题7.2（2）294

7.3幂级数295

一、函数项级数的概念295

二、幂级数及其收敛性296

三、幂级数的运算及其性质298

四、利用幂级数的和函数求数项级数的和301

习题7.3302

7.4函数展开成幂级数303

一、任意阶可导的函数的泰勒级数303

二、函数展开成幂级数的条件304

三、初等函数间接展开成幂级数307

四、幂级数展开式的应用310

五、欧拉公式311

习题7.4312

7.5傅里叶级数313

一、三角级数及其基本性质313

二、周期为2π的周期函数的傅里叶级数314

三、只定义在区间［—π，π］上的函数展开成傅里叶级数317

四、只定义在［0，π］上的函数展开成正弦（或余弦）级数318

习题7.5320

7.6一般周期函数的傅里叶级数322

一、一般周期函数的傅里叶级数322

二、傅里叶级数的复数形式324

习题7.6325

综合测试题七326

第8章 向量代数与空间解析几何329

8.1空间直角坐标系329

一、空间直角坐标系329

二、点的坐标330

三、空间两点间的距离公式与中点坐标公式330

习题8.1331

8.2向量及其线性运算332

一、向量的概念332

二、向量的线性运算332

习题8.2335

8.3向量的坐标335

一、向量的分解与向量的坐标335

二、向量线性运算的坐标表示法336

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式337

四、向量在坐标轴上的投影与向量的坐标338

习题8.3339

8.4向量的数量积向量积混合积340

一、两向量的数量积340

二、两向量的向量积342

三、向量的混合积345

习题8.4347

8.5平面及其方程348

一、平面的点法式方程348

二、平面的一般式方程349

三、平面的截距式方程351

四、两平面的夹角351

习题8.5352

8.6空间直线及其方程353

一、空间直线的点向式方程与参数式方程353

二、空间直线的一般式方程353

三、两直线的夹角354

四、直线与平面的夹角355

五、直线与平面的交点356

习题8.6356

8.7平面与直线方程的应用357

一、求投影357

二、求距离359

习题8.7361

8.8曲面及其方程361

一、曲面方程361

二、球面362

三、柱面363

四、旋转曲面363

五、二次曲面365

习题8.8367

8.9空间曲线及其方程368

一、空间曲线的一般方程与参数方程368

二、空间曲线在坐标面上的投影370

三、一般柱面和旋转曲面的探讨371

习题8.9373

8.10柱面坐标与球面坐标374

一、柱面坐标374

二、球面坐标375

习题8.10377

综合测试题八378

第9章 多元函数微分学380

9.1多元函数380

一、区域380

二、多元函数的概念382

三、多元函数的极限384

四、多元函数的连续性385

习题9.1387

9.2偏导数与全微分的概念与基本性质387

一、偏导数387

二、高阶偏导数390

三、全微分392

四、全微分在近似计算中的应用395

习题9.2396

9.3复合函数与隐函数的求导法397

一、多元复合函数的求导法397

二、一阶全微分形式不变性402

三、隐函数的求导法402

习题9.3406

9.4多元微分学在几何上的应用407

一、空间曲线的切线与法平面407

二、曲面的切平面与法线409

三、利用微分法求曲线的切向量和平面的法向量411

习题9.4411

9.5多元函数的极值及其应用412

一、二元函数的极值概念及求法413

二、多元函数的最大值与最小值的应用415

三、条件极值，拉格朗日乘数法416

四、二元函数的泰勒公式419

习题9.5422

9.6方向导数与梯度423

一、方向导数423

二、梯度425

习题9.6427

综合测试题九428

第10章 多重积分431

10.1多重积分的概念和性质431

一、二重积分的概念431

二、二重积分的性质433

三、三重积分的概念与性质434

习题10.1435

10.2二重积分的计算436

一、利用直角坐标计算二重积分436

习题10.2（1）444

二、利用极坐标计算二重积分445

三、二重积分的一般变量替换449

习题10.2（2）450

10.3三重积分的计算452

一、利用直角坐标计算三重积分452

习题10.3（1）456

二、利用柱面坐标计算三重积分457

三、利用球面坐标计算三重积分458

四、三重积分的一般变量替换461

习题10.3（2）462

10.4重积分的应用463

一、曲面的面积464

二、重心465

三、转动惯量467

四、引力468

习题10.4470

综合测试题十472

第11章 曲线积分与曲面积分474

11.1对弧长的曲线积分474

一、对弧长的曲线积分的概念与性质474

二、对弧长的曲线积分的计算476

三、对弧长的曲线积分的应用478

习题11.1479

11.2对坐标的曲线积分480

一、对坐标的曲线积分的概念与性质480

二、对坐标的曲线积分的计算482

三、对弧长的曲线积分的应用486

习题11.2486

11.3格林公式及其应用488

一、格林公式488

二、平面上曲线积分与路径无关的条件与二元函数的全微分求积492

三、全微分方程495

习题11.3497

11.4对面积的曲面积分498

一、对面积的曲面积分的概念与性质498

二、对面积的曲面积分的计算500

三、对面积的曲面积分的应用502

习题11.4502

11.5对坐标的曲面积分503

一、对坐标的曲面积分的概念与性质503

二、对坐标的曲面积分的计算506

三、对坐标的曲面积分的应用510

习题11.5511

11.6高斯公式和斯托克斯公式512

一、高斯公式512

二、斯托克斯公式513

习题11.6516

11.7场论初步518

一、场的概念518

二、向量场的通量与散度518

三、向量场的环量与旋度520

四、向量微分算子与“三度”521

五、有势场和势函数522

习题11.7523

综合测试题十一524

附录Ⅰ基本函数的图形与特性527

附录Ⅱ积分表529

习题、综合测试题参考答案539