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第七章 插值法1

§7．1 Lagrange插值1

一、插值问题1

二、Lagrange插值多项式3

三、插值余项的表达式5

§7．2 Newton插值8

一、差商的定义及其性质8

二、Newton插值公式9

三、差分的定义及其性质13

四、等距节点的Newton插值公式15

§7．3 Hermite插值与分段插值18

一、Hermite插值18

二、分段插值22

§7．4 三次样条插值24

一、三次样条插值的定义25

二、三次样条插值函数的构造方法26

三、插值余项34

习题七35

第八章 数值积分和数值微分38

§8．1 数值求积公式的一般形式及其代数精度38

一、数值求积公式的一般形式38

二、求积公式的代数精度39

§8．2 Newton-Cotes公式41

一、插值型求积公式41

二、Newton-Cotes公式42

三、复化求积公式48

§8．3 Romberg算法52

§8．4 Gauss型求积公式55

一、一般理论55

二、几种Gauss型求积公式61

§8．5 数值微分68

一、插值型求导公式68

二、利用三次样条插值函数求数值导数71

习题八72

第九章 常微分方程的数值解法74

§9．1 概述74

一、常微分方程初值问题74

二、建立数值解法的基本思想与途径77

三、数值方法的截断误差与阶80

§9．2 Runge-Kutta方法83

一、二阶Runge-Kutta方法83

二、四阶Runge-Kutta方法85

§9．3 收敛性、稳定性与误差控制87

一、收敛性88

二、稳定性89

三、误差控制92

§9．4 一阶方程组与高阶方程93

一、一阶方程组93

二、高阶方程95

§9．5 边值问题的差分解法97

一、线性方程边值问题的差分格式97

二、其它边界条件的讨论105

三、非线性方程边值问题106

习题九106

第十章 数理方程基本概念109

§10．1 二阶线性偏微分方程的分类109

一、偏微分方程的基本概念109

二、二阶线性偏微分方程的分类110

三、二阶线性偏微分方程的标准形式113

四、两个自变量时化为标准形式的变换115

§10．2 典型二阶线性偏微分方程的建立120

一、振动过程与波动方程120

二、热传导方程125

三、稳定状态与Laplace方程、Poisson方程130

一、定解条件的数学表示131

§10．3 定解条件与定解问题的提法131

二、定解问题的提法136

三、定解问题的适定性137

习题十138

第十一章 定解问题的分离变量解法140

§11．1 一维齐次方程、齐次边界条件混合问题的分离变量解法141

一、分离变量法141

二、广义解概念145

三、级数解的物理意义147

四、热传导方程混合问题的分离变量解法148

五、各种齐次边界条件下的固有值与固有函数系149

§11．2 非齐次方程及非齐次边界条件的处理157

一、固有函数法157

二、非齐次边界条件的齐次化162

§11．3 某些区域上二维Laplace方程的分离变量解法166

一、矩形域上Laplace方程的边值问题166

二、圆域上Laplace方程的边值问题170

§11．4 特殊函数在分离变量法中的应用173

一、Legendre多项式的应用173

二、Sturm-Liouville方程的固有值问题177

三、Bessel函数及其应用179

习题十一187

第十二章 解定解问题的其它方法191

§12．1 波动方程的D’Alembert解法191

一、一维波动方程Cauchy问题的解191

二、三维波动方程的Poisson公式199

三、二维波动方程的Poisson公式204

四、高维波动方程解的物理意义205

§12．2 积分变换法206

一、积分变换概念206

二、Fourier变换及其性质207

三、Laplace变换及其性质210

四、定解问题的积分变换解法215

§12．3 Green函数法220

一、调和函数的性质220

二、Laplace方程第一边值问题的Green函数224

三、球域的Green函数和Poisson积分公式227

四、解半空间上第一边值问题的Green函数法229

五、二维情形231

习题十二233

第十三章 偏微分方程的数值解法236

§13．1 椭圆型方程的差分解法236

一、差分格式的构成236

二、差分方程解的存在唯一性240

三、收敛性与误差估计243

四、一般二阶椭圆型方程第三边值问题的差分格式246

§13．2 抛物型方程的差分解法248

一、古典差分格式的构成248

二、差分格式的稳定性254

三、差分格式的收敛性258

四、二维热传导方程的交替方向格式258

§13．3 双曲型方程的差分解法261

一、三层显格式261

二、三层隐格式263

§13．4 有限元方法264

一、变分原理264

二、区域剖分268

三、面单元分析269

四、线单元分析274

五、总体合成与基本方程组275

习题十三281

附录一 Jn(x)(n=0，1，2，…，5)的正零点μi(n)(i＝1，2,…，9)的近似值283

附录二 Fourier变换与Laplace变换简表284

附录三 习题答案289

参考文献298