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第七章 多元函数微分学1

第一节 多元函数1

一、平面点集1

二、多元函数的概念3

三、多元函数的极限6

四、多元函数的连续性8

习题7-19

第二节 偏导数10

一、偏导数的定义及其计算方法10

二、高阶偏导数14

习题7-217

第三节 全微分及其应用18

一、全微分定义19

二、全微分存在的条件20

三、全微分在近似计算中的应用25

习题7-326

第四节 多元复合函数的求导法则27

一、多元复合函数求导的链式法则27

二、复合函数的高阶偏导数32

三、一阶全微分形式的不变性33

习题7-435

第五节 隐函数求导法36

一、一个方程的情形36

二、方程组的情形39

习题7-542

第六节 方向导数与梯度44

一、方向导数44

二、梯度47

习题7-650

第七节 偏导数的几何应用51

一、空间曲线的切线与法平面51

二、曲面的切平面与法线55

习题7-759

第八节 多元函数的极值60

一、多元函数的极值61

二、条件极值、拉格朗日乘数法64

三、有界闭区域上函数的最值69

习题7-872

第九节 二元函数的泰勒公式73

一、二元函数的泰勒公式73

二、极值充分条件的说明76

习题7-977

总练习题七77

第八章 重积分79

第一节 二重积分的概念与性质79

一、引例79

二、二重积分的定义81

三、二重积分的性质83

习题8-184

第二节 二重积分的计算85

一、在直角坐标系下计算二重积分85

二、在极坐标系下计算二重积分94

三、二重积分的换元法98

习题8-2100

第三节 三重积分的概念与计算102

一、三重积分的概念102

二、在直角坐标系下计算三重积分103

三、在柱面坐标系下计算三重积分108

四、在球面坐标系下计算三重积分113

五、三重积分的换元法116

习题8-3117

第四节 重积分的应用119

一、曲面面积的计算119

二、重积分的统一定义122

三、重积分的物理应用122

习题8-4127

总练习题八128

第九章 曲线积分与曲面积分130

第一节 对弧长的曲线积分130

一、对弧长的曲线积分的概念与性质130

二、对弧长曲线积分的计算法133

习题9-1137

第二节 对坐标的曲线积分137

一、对坐标的曲线积分的概念与性质137

二、对坐标的曲线积分的计算法140

三、两类曲线积分的联系146

习题9-2147

第三节 格林公式及其应用148

一、格林公式148

二、平面上曲线积分与路径无关的条件154

三、二元函数的全微分求积158

习题9-3162

第四节 对面积的曲面积分164

一、对面积曲面积分的概念与性质164

二、第一型曲面积分的计算165

习题9-4170

第五节 对坐标的曲面积分170

一、有向曲面170

二、对坐标的曲面积分的概念与性质171

三、对坐标的曲面积分的计算法174

四、两类曲面积分的关系179

习题9-5181

第六节 高斯公式和斯托克斯公式182

一、高斯公式182

二、斯托克斯公式186

习题9-6191

第七节 场论初步192

一、场的概念192

二、数量场的等值面与梯度192

三、向量场的通量与散度193

四、向量场的环流量与旋度195

五、保守场与势函数197

习题9-7198

总练习题九198

第十章 微分方程201

第一节 微分方程的基本概念201

一、引例201

二、微分方程的基本概念202

习题10-1204

第二节 可分离变量的微分方程205

习题10-2208

第三节 齐次方程209

习题10-3213

第四节 一阶线性微分方程214

习题10-4219

第五节 全微分方程219

习题10-5222

第六节 可降阶的高阶微分方程222

一、y(n)=f（x）型222

二、y″=f（x,y′）型223

三、y″=f（y,y′）型225

习题10-6227

第七节 线性微分方程解的结构228

习题10-7231

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程231

习题10-8236

第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程237

习题10-9245

总练习题十246

第十一章 无穷级数248

第一节 常数项级数的概念和性质248

一、引言248

二、基本概念249

三、基本性质250

习题11-1254

第二节 常数项级数的收敛性及其判别法254

一、正项级数及其收敛判别法255

二、交错级数及其收敛判别法260

三、绝对收敛与条件收敛262

习题11-2263

第三节 幂级数的概念、性质与求和264

一、函数项级数的一般概念265

二、幂级数及其收敛半径265

三、关于一致收敛的级数及其分析性质270

四、幂级数的分析性质与幂级数的求和274

习题11-3276

第四节 函数展开成幂级数277

一、f（x）的泰勒级数277

二、f（x）展开成泰勒级数的条件279

三、f（x）展开成泰勒级数的方法280

四、幂级数展开式的应用举例284

习题11-4287

第五节 傅里叶级数288

一、问题的提出288

二、预备知识289

三、傅里叶级数与傅里叶系数290

四、傅里叶级数的收敛定理292

五、正弦级数与余弦级数298

习题11-5299

第六节 一般周期函数的傅里叶级数300

一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数300

二、傅里叶级数的复数形式303

习题11-6304

总练习题十一305

习题答案与提示307