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引言1

一 历史上的数学方法1

1.1 用几何方法解代数题1

1.2 用代数方法解几何题2

1.3 用代数方法研究数论4

1.4 用群论方法研究代数7

1.5 四元数开辟了研究抽象代数之路11

1.6 用射影方法研究几何13

1.7 用群论方法整理几何15

1.8 用流数法创立微积分学19

1.9 用几何方法解概率题21

二 从数学游戏谈起21

习题123

2.1 数学游戏在数学发展中的作用24

2.2 让梨游戏25

2.3 幻方与魔阵30

2.4 完全数、亲和数与亲和数链39

2.5 斐波纳契数列45

2.6 大衍求一术52

2.7 柯尼斯堡七桥问题55

2.8 树形图57

2.9 麦比乌斯带60

2.10 正六边形拼图65

2.11 色三角形66

2.12 三条简单的定理67

2.13 博弈论74

2.14 布尔代数76

2.15 合理下料问题和运输问题81

2.16 输入输出经济系统87

2.17 从活数学到纯数学89

2.18 数学向其他学科渗透的具体机制90

习题292

三 某些更基本的方法93

3.1 方法的过程性和层次性93

3.2 平衡法94

3.3 穷竭98

3.4 无限递降法101

3.5 数学归纳法和递归103

3.6 反演法108

3.7 映射法110

3.8 对偶原理113

3.9 形式运算法115

3.10 实验的方法119

3.11 构造的方法121

习题3126

四 演绎推理与合情推理127

4.1 欧几里得《原本》的来龙去脉127

4.2 公理方法的历史130

4.3 公理方法的作用132

4.4 对公理系统的要求135

4.5 现代逻辑的三大成果138

4.6 一个有趣的例子146

4.7 合情推理149

习题4154

五 数学与思维157

5.1 数学是人类文明的一个组成部分157

5.2 数学是一种思维方式159

5.3 数学是一种思维规范161

5.4 笛卡儿的思维法则162

5.5 数学是思维的一种载体164

5.6 数学能锻炼人的思维167

习题5169

六 数学方法是什么?170

6.1 方法是什么?170

6.2 数学方法的内涵与外延171

6.3 数学方法的特点173

6.4 掌握数学方法的途径175

6.5 数学之树176

后记178