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篇要 高数解题的四种思维定势1

第一篇 高等数学7

第一章 函数·极限·连续7

1.1 函数7

一、函数的定义7

二、函数的定义域的求法8

三、函数的基本性质9

四、分段函数13

五、初等函数14

1.2 函数的极限及其连续性17

一、概念17

二、重要定理与公式20

1.3 极限的求法27

一、未定式的定值法27

二、类未定式30

三、数列的极限32

四、极限式中常数的确定（重点）36

五、杂例39

习题一43

第二章 导数与微分46

2.1 定义·定理·公式46

一、导数与微分的定义46

二、定理48

三、导数与微分的运算法则48

四、基本公式49

五、弧微分49

2.2 各类函数导数的求法50

一、复合函数微分法50

二、参数方程微分法51

三、隐函数微分法52

四、幂指函数微分法53

五、函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法54

六、分段函数微分法54

2.3 高阶导数55

一、定义与基本公式55

二、高阶导数的求法56

习题二59

第三章 不定积分63

3.1 不定积分的概念与性质63

一、不定积分的概念63

二、基本性质63

三、基本公式64

3.2 基本积分法65

一、第一换元积分法（也称凑微分法）65

二、第二换元积分法69

三、分部积分法73

3.3 各类函数积分的技巧及分析78

一、有理函数的积分78

二、简单无理函数的积分79

三、三角有理式的积分81

四、含有反三角函数的不定积分84

五、抽象函数的不定积分85

六、分段函数的不定积分86

习题三87

第四章 定积分及反常积分90

4.1 定积分性质及有关定理与公式90

一、基本性质90

二、定理与公式93

4.2 定积分的计算法96

一、牛顿—莱布尼兹公式96

二、定积分的换元积分法97

三、定积分的分部积分法99

4.3 特殊形式的定积分计算100

一、分段函数的积分100

二、被积函数带有绝对值符号的积分102

三、被积函数中含有“变限积分”的积分103

四、对称区间上的积分105

五、被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的积分106

六、由三角有理式与其它初等函数通过四则或复合而成的函数的积分107

七、杂例108

4.4 定积分有关命题证明的技巧110

一、定积分等式的证明110

二、定积分不等式的证明118

习题四（1）123

4.5 反常积分125

一、基本概念125

二、题型归纳及思路提示126

习题四（2）128

第五章 中值定理的证明技巧129

5.1 连续函数在闭区间上的性质129

一、基本定理129

二、有关闭区间上连续函数的命题的证法129

习题五（1）131

5.2 微分中值定理及泰勒公式132

一、基本定理132

二、泰勒公式133

5.3 证题技巧分析136

一、欲证结论：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝0的命题证法136

二、欲证结论：至少？一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（≠0）及其代数式的证法138

三、欲证结论：在（a，b）内至少？ξ，η，ξ≠η满足某种关系式的命题的证法143

习题五（2）144

第六章 常微分方程145

6.1 基本概念145

一、微分方程145

二、微分方程的阶145

三、微分方程的解145

6.2 一阶微分方程146

一、各类一阶方程解法一览表146

二、解题技巧及分析147

6.3 可降阶的高阶方程155

一、可降阶的高阶方程解法一览表155

二、解题技巧及分析155

6.4 高阶线性微分方程156

一、二阶线性微分方程解的结构156

二、二阶常系数线性微分方程158

三、n阶常系数线性方程159

四、欧拉方程164

6.5 微分方程的应用165

一、在几何中的应用165

二、在力学中的应用167

习题六168

第七章 一元微积分的应用171

7.1 导数的应用171

一、利用导数判别函数的单调增减性171

二、利用导数研究函数的极值与最值172

三、关于方程根的研究178

四、函数作图182

7.2 定积分的应用185

一、微元法及其应用185

二、平面图形的面积187

三、立体体积189

四、平面曲线的弧长190

五、旋转体的侧面积190

六、变力作功、引力、液体的静压力191

习题七193

第八章 无穷级数196

8.1 基本概念及其性质196

8.2 数项级数判敛法197

一、正项级数？un，（un≥0）敛散性的判别法197

二、交错级数？（-1）n－1 un（un＞0）的判敛法202

三、任意项级数203

四、杂例205

8.3 幂级数208

一、函数项级数的概念208

二、幂级数210

8.4 无穷级数求和216

一、幂级数求和函数216

二、数项级数求和220

8.5 傅里叶级数223

一、概念、定理223

二、周期与非周期函数的傅里叶级数225

习题八229

第九章 矢量代数与空间解析几何233

9.1 矢量的概念及其性质233

一、概念及其运算233

二、矢量之间的关系234

9.2 平面与直线238

9.3 投影方程243

9.4 曲面方程245

习题九249

第十章 多元函数微分学251

10.1 基本概念及定理与公式251

一、二元函数的定义251

二、二元函数的极限及连续性252

三、偏导数、全导数及全微分253

四、基本定理254

10.2 多元函数微分法256

一、简单显函数u＝f（x，y，z）的微分法256

二、复合函数微分法257

三、隐函数微分法260

10.3 多元函数微分学在几何上的应用263

一、空间曲线在某点处的切线和法平面方程263

二、空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程264

10.4 多元函数的极值266

一、概念、定理与公式266

二、条件极值与无条件极值266

习题十271

第十一章 重积分274

11.1 概念·性质·公式274

一、概念274

二、性质274

三、公式277

11.2 二重积分的解题技巧278

一、？f（x，y）dσ的解题程序278

二、极坐标系中积分限的确定279

三、典型例题分析280

11.3 二重积分的证题技巧286

一、有关等式的证明286

二、二重积分不等式的证明288

11.4 三重积分的计算290

一、？f（x，y，z）dv的解题程序290

二、坐标系的选择290

三、球面坐标系中积分限的确定291

四、更换积分次序292

五、三重积分计算293

习题十一294

第十二章 曲线、曲面积分及场论初步299

12.1 曲线积分的概念及性质299

一、对弧长的曲线积分299

二、对坐标的曲线积分299

三、两种曲线积分之间的关系300

12.2 曲线积分的理论及计算方法300

一、基本定理300

二、对弧长的曲线积分的计算方法301

三、对坐标的曲线积分∫LP（x，y）dx＋Q（x，y）dy的计算法302

12.3 曲面积分的概念与性质308

一、对面积的曲面积分308

二、对坐标的曲面积分308

三、两种曲面积分之间的关系309

12.4 曲面积分的理论与计算方法309

一、基本定理309

二、对面积的曲面积分的计算法310

三、对坐标的曲面积分的计算法311

12.5 曲面面积的计算法316

12.6 场论初步317

一、概念与公式317

二、例题选讲318

习题十二321

第十三章 函数方程与不等式证明323

13.1 函数方程323

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程323

二、利用极限求解函数方程324

三、利用导数的定义求解方程325

四、利用变上限积分的可导性求解方程325

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解326

六、利用解微分方程的方法求解f（x）327

13.2 不等式的证明330

一、引入参数法330

二、利用微分中值定理331

三、利用函数的单调增减性（重点）333

四、利用函数的极值与最值334

五、利用函数图形的凹凸性336

六、利用泰勒展开式336

七、杂例338

习题十三339

第二篇 线性代数342

第一章 行列式342

1.1 行列式的概念342

一、排列与逆序342

二、n阶行列式的定义343

1.2 性质、定理与公式344

一、行列式的基本性质344

二、行列式按行（列）展开定理347

三、重要公式与结论347

1.3 典型题型分析348

题型一 抽象行列式的计算348

题型二 低阶行列式的计算349

题型三 n阶行列式的计算351

1.4 杂例356

习题一358

第二章 矩阵361

2.1 矩阵的概念与运算361

一、矩阵的概念361

二、矩阵的运算361

2.2 逆矩阵364

一、逆矩阵的概念364

二、利用伴随矩阵求逆矩阵365

三、矩阵的初等变换与求逆366

四、分块矩阵及其求逆367

2.3 典型题型分析367

题型一 求逆矩阵367

题型二 求矩阵的高次幂Am．370

题型三 有关初等矩阵的命题372

题型四 解矩阵方程372

题型五 求矩阵的秩374

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明376

题型七 关于方阵A可逆的证明376

题型八 与A的伴随阵A＊有关联的命题的证明377

题型九 关于矩阵秩的命题的证明379

习题二380

第三章 向量385

3.1 基本概念385

一、向量的概念与运算385

二、向量间的线性关系385

三、向量组的秩和矩阵的秩386

四、向量空间387

3.2 重要定理与公式389

3.3 典型题型分析390

题型一 讨论向量组的线性相关性390

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明393

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示399

题型四 有关向量组线性表示命题的证明400

题型五 求向量组的极大线性无关组402

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明404

题型七 与向量空间有关的命题408

习题三410

第四章 线性方程组413

4.1 概念、性质、定理413

一、克莱姆法则413

二、线性方程组的基本概念413

三、线性方程组解的判定414

四、非齐次组Ax＝b与齐次组Ax＝0解的关系415

五、线性方程组解的性质415

六、线性方程组解的结构415

4.2 典型题型分析416

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）416

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论419

题型三 讨论两个方程组的公共解424

题型四 有关基础解系的证明426

题型五 综合题427

习题四432

第五章 特征值和特征向量436

5.1 概念与性质436

一、矩阵的特征值和特征向量的概念436

二、特征值与特征向量的计算方法436

三、相似矩阵及其性质437

四、矩阵可相似对角化的充要条件437

五、对称矩阵及其性质437

5.2 重要公式与结论438

5.3 典型题型分析439

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量439

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量440

题型三 特征值、特征向量的逆问题441

题型四 相似的判定及其逆问题443

题型五 判断A是否可对角化445

题型六 综合应用问题447

题型七 有关特征值、特征向量的证明题452

习题五454

第六章 二次型457

6.1 基本概念与定理457

一、二次型及其矩阵表示457

二、化二次型为标准型457

三、用正交变换法化二次型为标准形458

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法458

6.2 典型题型分析461

题型一 二次型所对应的矩阵及其性质461

题型二 化二次型为标准形462

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数465

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明467

习题六470

第三篇 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率472

1 基本概念、性质与公式472

一、随机试验和随机事件472

二、事件的关系及其运算472

三、事件的概率及其性质474

四、条件概率与事件的独立性475

五、重要概型477

六、重要公式477

2 典型题型分析478

题型一 古典概型与几何概型478

题型二 事件的关系和概率性质的命题481

题型三 条件概率与积事件概率的计算483

题型四 全概率公式与Bayes公式的命题484

题型五 有关Bernoulli概型的命题487

习题一489

第二章 随机变量及其分布492

1 基本概念、性质与公式492

一、概念与公式一览表492

二、重要的一维分布495

三、重要的二维分布497

2 典型题型分析498

题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题498

题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数501

题型三 求一维随机变量函数的分布505

题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查508

题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论510

题型六 求两个随机变量的简单函数的分布517

习题二521

第三章 随机变量的数字特征528

1 基本概念、性质与公式528

一、一维随机变量的数字特征528

二、二维随机变量的数字特征530

三、几种重要的数学期望与方差531

四、重要公式与结论532

2 典型题型分析532

题型一 求一维随机变量的数字特征532

题型二 求一维随机变量函数的数学期望536

题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征539

题型四 有关数字特征的证明题548

题型五 应用题549

习题三552

第四章 大数定律和中心极限定理556

1 基本概念与定理556

一、切比雪夫不等式556

二、中心极限定理556

三、重要公式与结论557

四、注意557

2 典型题型分析558

题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题558

题型二 有关中心极限定理的命题559

习题四562

第五章 数理统计的基本概念563

1 基本概念、性质与公式563

一、几个基本概念563

二、三个抽样分布——x2分布、t分布与F分布564

三、正态总体下常用统计量的性质564

四、重要公式与结论565

2 典型题型分析566

题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量566

题型二 求统计量的分布568

习题五569

第六章 参数估计572

1 基本概念、性质与公式572

一、矩估计与极大似然估计572

二、估计量的评选标准573

三、区间估计574

四、重要公式与结论575

2 典型题型分析576

题型一 求矩估计和极大似然估计576

题型二 评价估计的优劣580

题型三 区间估计或置信区间的命题581

习题六583

第七章 假设检验586

1 基本概念与公式586

一、显著性检验的基本思想586

二、假设检验的基本步骤586

三、两类错误586

四、正态总体未知参数的假设检验587

五、假设检验与区间估计的联系587

2 典型题型分析588

题型一 正态总体的均值和方差的假设检验588

题型二 有关两类错误的命题589

习题七590

附录592

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）592

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）601