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第一章 公理化集论1

1 集的古典定义及其缺陷3

1.集的古典定义——G.Cantor定义3

2.集的例子·正整数4

3.Russell悖论5

2 公理集论6

1.ZFC公理系统6

2.映射·集的表示7

3.子集·差集·幂集公理8

4.并集公理·交集·笛卡尔集·叠集11

5.序数12

5.1.关系·次序12

5.2.序数的概念15

5.3.正整数·超限序数·超限归纳法18

5.4.选择公理·良序原则21

5.5.序数算术24

6.基数25

6.1.有限基数·超限基数25

6.2.基数算术28

6.3.连续统假设29

7.集合论公理系统的缺陷30

习题33

3 实数34

1.整数34

2.有理数35

3.实数·无理数·超越数36

4.实数之有理区间套的定义37

4.1.等价有理区间套就是实数38

4.2.实数的四则运算39

4.3.实数的全序性41

4.4.有理数定义的合理性42

习题43

第二章 拓扑空间与连续函数45

1 一般拓扑45

1.开集·闭集45

2.闭包·边界48

3.Baire范畴集49

4.收敛性·点网的滤子49

5.连续映射的概念54

6.收敛概念定义的拓扑58

7.商空间60

8.乘积拓扑空间60

9.连通空间·弧连通空间62

10.紧致空间63

11.拓扑空间的分离性68

12.拓扑空间的可数性和可分性72

13.局部紧致Hausdorff空间74

13.1.紧致Hausdorff空间74

13.2.局部紧致Hausdorff空间的性质74

13.3.Urysohn引理和Tietze延拓定理76

习题78

13.4.Gδ型集和Fσ型集78

2 度量空间与半度量空间81

1.（半）度量空间的概念和基本性质81

2.度量空间的某些性质84

3.有界映射族的一致收敛拓扑89

4.半度量空间的某些性质90

5.拓扑空间的度量化92

习题96

3 连续函数与半连续函数98

1.连续映射与弱拓扑98

2.连续函数与拓扑空间的紧致化100

3.上下极限104

4.半连续函数的概念及其等价命题105

5.半连续函数的运算108

6.半连续函数的性质110

7.函数的半连续正则化113

4 流形116

1.基本要领116

2.单位分解120

2.1.单位分解的存在性121

2.2.半连续函数的逼近定理和隔离性定理的证明123

3.Riemann曲面125

3.1.Riemann曲面的概念125

3.2.镶边Riemann曲面的概念126

3.4.解析映照127

3.3.Riemann曲面的亏格127

3.5.共变量128

3.6.Dirichlet积分130

第三章 线性代数132

1 基本代数系统和线性空间132

1.二面运算132

2.群·环·域132

3.线性空间的概念135

4.线性组合136

5.总和简写惯例·无限方阵137

6.线性独立·基底138

7.基底变换·无限方阵的逆方阵140

8.向量分量的逆变性142

9.直接和143

习题145

2 线性变换146

1.基本概念146

2.线性变换的表示法和矩阵149

3.线性变换与基底变换的关系150

4.横假无限矩阵的法式150

5.矩阵的秩152

6.Hom（X，Y）的维数153

3 内积空间及其正交基底155

1.内积空间的概念155

2.内积空间的正交基底156

3.正交和·正交投影157

4.U方阵·正交方阵159

5.顺变分量·线性独立条件161

6.有限维内积空间的伴随基底162

习题163

4 内积空间的自线性变换164

1.自线性变换的概念164

2.正常变换·谱分解166

3.U变换·实正交变换169

4.自伴随变换·共轭对称方阵172

5.反自伴随变换·反共轭对称方阵175

6.Cayley变换176

5 切空间和变形运动178

1.切空间的概念178

2.坐标变换和切空间的基底变换179

3.欧氏空间的切空间里的内积180

4.变形运动181

5.无穷小线性变换和应变182

6.应力185

7.方阵的指数函数186

第四章 测度与泛函188

1 可测空间与可加集函数188

1.环和体188

2.可加集函数190

3.复测度的概念193

2 抽象测度和积分195

1.可取∞值的测度195

2.Caratheodory外测度与测度的延拓197

3.可测函数201

3.1.可测函数的概念201

3.2.可测函数列202

3.3.几乎处处收敛203

4.正则测度·正规测度·Lusin定理205

5.抽象Lebesgue积分206

习题210

3 线性赋范空间211

1.线性赋范空间及其上的连续线性算子211

2.Lp空间215

2.1.几个重要的积分不等式215

2.2.Lp空间的定义216

2.3.复可测函数空间 ·依测度收敛217

2.4.空间Lp和的完备性及可分性218

3.Hilbert空间中的泛函表现定理219

4.Hahn-Banach泛函延拓定理223

5.Radon-Nikodym定理227

6.自反空间232

7.弱收敛236

8.开映像原理·共鸣定理·闭图像定理239

习题240

4 测度与泛函的积分表示242

1.复测度的极表示242

2.紧致度量空间上的集函数和Riesz表现定理245

4.正线性泛函249

3.Radon测度的概念249

5.正线性泛函在下半连续函数族里的延拓251

6.正线性泛函导出的外测度253

7.正线性泛函导出的外测度的内正则性254

8.正线性泛函导出的Radon测度256

9.正线性泛函关于Radon测度的积分表示258

习题260

第五章 广义函数261

1 拓扑线性空间263

1.吸收集·平衡集·凸集263

2.拓扑线性空间265

3.半范与Minkowski泛函269

4.局部凸拓扑线性空间272

5.可度量化与赋范化275

6.函数空间Cm（Ω）与C∞（Ω）的拓扑280

7.诱导极限拓扑281

8.函数空间Cm（Ω）与C∞（Ω）的拓扑284

习题286

2 广义函数的概念和基本性质288

1.局部可积函数288

2.广义函数空间（Ω）292

2.1.基本空间（Ω）与（Ω）广义函烽292

2.2.广义函数与局部可积函数、测度的关系296

3.广义函数空间 （Ω）300

3.1.（Ω）广义函数运算300

3.2.（Ω）广义函数的原函数301

3.3.（Ω）广义函数的极限303

4.广义函数空间（Ω）304

5.广义函数空间305

5.1.急减函数基本空间305

5.2.缓增广义函数空间308

6.三类广义函数空间的关系310

6.1.基本空间的嵌入关系310

6.2.广义函数空间的嵌入关系311

6.3.（Ω）广义函数的支集311

习题313

3 广义函数的卷积315

1.（Ω）广义函数的直积315

2.广义函数的卷积317

习题322

4 广义函数的Fourier变换323

1.可积函数的Fourier变换323

2.函数的Fourier变换324

3.缓增广义函数的Fourier变换328

习题333

5 Sobolev空间334

1.空间Wm·p（Ω）334

2.空间Hm·p（Ω）337

3.嵌入定理342

习题347

参考文献348