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第一篇 高等数学1

第一章 函数、极限和连续1

第1节 重要概念、定理和公式的剖析1

一、函数的基本性质1

二、分段函数5

三、反函数5

四、复合函数6

五、初等函数9

六、函数的极限及其连续性9

七、重要公式和定理12

第2节 重要题型的解题方法和技巧19

题型一 未定式的定值法19

题型二 类未定式的计算23

题型三 数列的极限24

题型四 极限式中常数的确定（重点）29

题型五 函数连续或间断点的判定32

第3节 思维定势及综合题解析34

一、思维定势34

二、综合题解析38

习题一39

第二章 导数与微分43

第1节 重要概念、定理和公式的剖析43

一、导数与微分的定义43

二、重要定理45

三、导数与微分的运算法则45

四、基本公式45

五、弧微分与曲率46

六、高阶导数的定义与基本公式47

第2节 重要题型的解题方法和技巧47

题型一 求复合函数的导数或微分47

题型二 求参数方程的导数或微分49

题型三 求隐函数的导数或微分50

题型四 求幂指函数的导数或微分50

题型五 求表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分51

题型六 求分段函数的导数或微分51

题型七 求高阶导数52

第3节 思维定势及综合题解析56

一、思维定势56

二、综合题解析56

习题二59

第三章 不定积分62

第1节 重要概念、定理和公式的剖析62

一、不定积分的基本概念62

二、基本性质62

三、基本公式63

四、基本积分法64

第2节 重要题型的解题方法和技巧77

题型一 有理函数的不定积分77

题型二 简单无理函数的不定积分78

题型三 三角有理式的不定积分79

题型四 含有反三角函数的不定积分83

题型五 抽象函数的不定积分83

题型六 分段函数的不定积分84

第3节 思维定势及综合题解析85

一、思维定势85

二、综合题解析86

习题三88

第四章 定积分及反常积分92

第1节 重要概念、定理和公式的剖析92

一、基本性质92

二、定理和公式95

三、定积分的计算法98

四、反常积分的基本概念102

第2节 重要题型的解题方法和技巧103

题型一 分段函数的定积分103

题型二 被积函数带有绝对值符号的定积分105

题型三 被积函数中含有“变限积分”的定积分106

题型四 对称区间上的定积分108

题型五 被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的定积分109

题型六 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的定积分110

题型七 已知一定积分，求另一定积分111

题型八 定积分等式的证明112

题型九 定积分不等式的证明120

题型十 计算反常积分125

题型十一 反常积分的判敛126

第3节 思维定势及综合题解析127

一、思维定势127

二、综合题解析128

习题四129

第五章 微分中值定理133

第1节 重要概念、定理和公式的剖析133

第2节 重要题型的解题方法和技巧134

题型一 闭区间上连续函数命题的证明134

题型二 证明给出的函数f（x）满足某中值定理137

题型三 证明某个函数恒等于一个常数的命题138

题型四 命题f（n）（ξ）=0的证明139

题型五 欲证结论：至少存在一点ξ∈（a,b），使得f（n）（ξ）=k（k≠0）或由a,b,f（a）,f（b）,ξ,f（ξ）,f（ξ）,…,f（n）（ξ）所构成的代数式成立140

题型六 欲证结证：在（a,b），内至少存在ξ,η（ξ≠η）满足某个代数式143

第3节 思维定势及综合题解析144

一、思维定势144

二、综合题解析146

习题五147

第六章 常微分方程150

第1节 重要概念、定理和公式的剖析150

一、基本概念150

二、二阶线性微分方程解的结构150

三、二阶常系数线性微分方程152

四、n阶常系数线性微分方程152

第2节 重要题型的解题方法和技巧155

题型一 一阶微分方程的计算155

题型二 可降阶的高阶方程的求解164

题型三 计算二阶线性微分方程165

题型四 欧拉方程的计算168

题型五 微分方程的应用170

第3节 思维定势及综合题解析173

一、思维定势173

二、综合题解析173

习题六175

第七章 一元微积分的应用178

第1节 重要概念、定理和公式的剖析178

一、函数的单调增减性定理178

二、函数的极值与最值179

三、函数凹凸性的判别与函数的拐点180

四、微元法及其应用182

第2节 重要题型的解题方法和技巧184

题型一 求函数的极值184

题型二 求函数的最值185

题型三 关于方程根的讨论186

题型四 函数渐近线的求解191

题型五 函数作图192

题型六 求平面图形的面积193

题型七 求立体的体积195

题型八 求平面曲线的弧长196

题型九 求旋转体的侧面积197

题型十 变力做功、引力、液体的静压力198

第3节 思维定势与综合题解析201

一、思维定势201

二、综合题解析202

习题七205

第八章 无穷级数208

第1节 重要概念、定理和公式的剖析208

一、无穷级数的基本概念和性质208

二、数项级数判敛法209

三、函数项级数的概念214

四、幂级数的概念和性质214

五、傅里叶级数的概念及定理216

第2节 重要题型的解题方法和技巧219

题型一 正项级数的判敛219

题型二 任意项级数的判敛220

题型三 级数的证明或判敛222

题型四 计算函数项级数收敛域224

题型五 求幂级数的收敛域、收敛半径226

题型六 函数在某点的幂级数展开227

题型七 幂级数求和229

题型八 数项级数求和233

题型九 周期与非周期函数的傅里叶级数236

第3节 思维定势及综合题解析239

一、思维定势239

二、综合题解析239

习题八241

第九章 矢量代数与空间解析几何245

第1节 重要概念、定理和公式的剖析245

一、矢量的概念及其性质245

二、平面与直线250

三、投影方程251

四、曲面方程253

第2节 重要题型的解题方法和技巧257

题型一 求平面方程257

题型二 求空间直线方程259

第3节 思维定势及综合题解析261

一、思维定势261

二、综合题解析261

习题九262

第十章 多元函数微分学265

第1节 重要概念、定理和公式的剖析265

一、二元函数的定义265

二、二元函数的极限及连续性266

三、偏导数、全导数及全微分267

四、基本定理268

五、多元函数的极值270

六、条件极值与无条件极值271

第2节 重要题型的解题方法和技巧271

题型一 简单显函数u=f（x,y,z）的微分法271

题型二 复合函数微分法272

题型三 隐函数微分法275

题型四 空间曲线在某点处的切线和法平面方程278

题型五 空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程279

题型六 求无条件极值281

题型七 求条件极值282

题型八 求最值283

第3节 思维定势及综合题解析285

一、思维定势285

二、综合题解析286

习题十287

第十一章 重积分290

第1节 重要概念、定理和公式的剖析290

一、基本概念290

二、性质290

三、公式293

四、二重积分的解题技巧294

五、三重积分的解题技巧296

第2节 重要题型的解题方法和技巧298

题型一 更换二重积分的积分次序298

题型二 选择二重积分的积分次序300

题型三 二重积分坐标系的选择302

题型四 分段函数的二重积分的计算303

题型五 二重积分等式的证明306

题型六 二重积分不等式的证明308

题型七 更换三重积分的积分次序310

题型八 三重积分的计算310

第3节 思维定势及综合题解析312

一、思维定势312

二、综合题解析313

习题十一314

第十二章 曲线、曲面积分及场论初步319

第1节 重要概念、定理和公式的剖析319

一、曲线积分的概念和性质319

二、曲线积分的基本定理320

三、曲面积分的概念和性质321

四、曲面积分的基本定理322

五、场论初步322

第2节 重要题型的解题方法和技巧327

题型一 对弧长的曲线积分的计算327

题型二 对坐标的曲线积分的计算328

题型三 对面积的曲面积分的计算333

题型四 对坐标的曲面积分的计算334

题型五 曲面面积的计算339

第3节 思维定势及综合题解析340

一、思维定势340

二、综合题解析341

习题十二342

第十三章 函数方程与不等式证明344

第1节 函数方程344

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程344

二、利用极限求解函数方程345

三、利用导数的定义求解方程346

四、利用变上限积分的可导性求解方程346

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解347

六、利用解微分方程的方法求解f（x）348

第2节 不等式的证明351

一、引入参数法351

二、利用微分中值定理352

三、利用函数的单调增减性（重点）354

四、利用函数的极值与最值356

五、利用函数图形的凹凸性358

六、利用泰勒展开式358

七、杂例360

习题十三361

第二篇 线性代数364

第一章 行列式364

第1节 重要概念、定理和公式的剖析364

一、排列与逆序364

二、n阶行列式的定义365

三、行列式的基本性质367

四、行列式按行（列）展开定理369

五、重要公式与结论371

第2节 重要题型的解题方法和技巧372

题型一 抽象行列式的计算372

题型二 低阶行列式的计算372

题型三 n阶行列式的计算374

第3节 思维定势与综合题解析379

一、思维定势379

二、综合题解析380

习题一381

第二章 矩阵384

第1节 重要概念、定理和公式的剖析384

一、矩阵的概念384

二、矩阵的运算385

三、逆矩阵的概念387

四、利用伴随矩阵求逆矩阵388

五、矩阵的初等变换与求逆389

六、分块矩阵及其求逆390

七、矩阵的秩及其求法390

第2节 重要题型的解题方法和技巧390

题型一 求逆矩阵390

题型二 求矩阵的高次幂Am393

题型三 有关初等矩阵的命题395

题型四 解矩阵方程396

题型五 求矩阵的秩398

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明400

题型七 关于方阵A可逆的证明400

题型八 与A的伴随阵A＊有关联的命题的证明401

题型九 关于矩阵秩的命题的证明402

第3节 思维定势与综合题解析404

一、思维定势404

二、综合题解析405

习题二406

第三章 向量412

第1节 重要概念、定理和公式的剖析412

一、向量的概念与运算412

二、向量间的线性关系412

三、向量组的秩和矩阵的秩413

四、向量空间414

五、重要定理与公式416

六、小结416

第2节 重要题型的解题方法和技巧417

题型一 讨论向量组的线性相关性417

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明421

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示427

题型四 有关向量组线性表示命题的证明428

题型五 求向量组的极大线性无关组429

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明431

题型七 与向量空间有关的命题435

第3节 思维定势与综合题解析437

一、思维定势437

二、综合题解析437

习题三438

第四章 线性方程组442

第1节 重要概念、定理和公式的剖析442

一、克莱姆法则442

二、线性方程组的基本概念442

三、线性方程组解的判定443

四、非齐次线性方程组与其导出组的解的关系444

五、线性方程组解的性质444

六、线性方程组解的结构444

第2节 重要题型的解题方法和技巧445

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）445

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论449

题型三 讨论两个方程组的公共解455

题型四 有关基础解系的证明456

第3节 思维定势与综合题解析458

一、思维定势458

二、综合题解析458

习题四463

第五章 特征值和特征向量468

第1节 重要概念、定理和公式的剖析468

一、矩阵的特征值和特征向量的概念468

二、相似矩阵及其性质468

三、矩阵可相似对角化的充要条件469

四、实对称矩阵及其性质469

五、重要公式与结论470

第2节 重要题型的解题方法和技巧471

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量471

题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量472

题型三 特征值与特征向量的逆问题473

题型四 相似的判定及其逆问题476

题型五 判断矩阵A是否可对角化478

题型六 有关特征值与特征向量的证明题481

第3节 思维定势与综合题解析483

一、思维定势483

二、综合题解析483

习题五489

第六章 二次型492

第1节 重要概念、定理和公式的剖析492

一、二次型及其矩阵表示492

二、化二次型为标准型492

三、配方法和正交变换法493

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法494

第2节 重要题型的解题方法和技巧497

题型一 二次型所对应的矩阵及其性质497

题型二 化二次型为标准形498

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数502

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明504

第3节 思维定势与综合题解析506

一、思维定势506

二、综合题解析507

习题六508

第三篇 概率论与数理统计510

第一章 随机事件和概率510

第1节 重要概念、定理和公式的剖析510

一、随机试验和随机事件510

二、事件的关系及其运算511

三、事件的概率及其性质513

四、条件概率与事件的独立性514

五、重要概型515

六、重要公式515

第2节 重要题型的解题方法和技巧516

题型一 古典概型与几何概型516

题型二 事件的关系和概率性质的命题520

题型三 条件概率与积事件概率的计算522

题型四 全概率公式与贝叶斯公式的命题523

题型五 有关伯努利概型的命题525

第3节 思维定势与综合题解析527

一、思维定势527

二、综合题解析528

习题一529

第二章 随机变量及其分布533

第1节 重要概念、定理和公式的剖析533

一、概念与公式一览表533

二、重要的一维分布537

三、重要的二维分布539

第2节 重要题型的解题方法和技巧540

题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题540

题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数543

题型三 求一维随机变量函数的分布547

题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查549

题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论551

题型六 求两个随机变量的简单函数的分布558

第3节 思维定势与综合题解析563

一、思维定势563

二、综合题解析565

习题二566

第三章 随机变量的数字特征574

第1节 重要概念、定理和公式的剖析574

一、一维随机变量的数字特征574

二、二维随机变量的数字特征576

三、几种重要的数学期望与方差577

四、重要公式与结论578

第2节 重要题型的解题方法和技巧578

题型一 求一维随机变量的数字特征578

题型二 求一维随机变量函数的数学期望583

题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征585

题型四 有关数字特征的证明题592

题型五 数字特征在经济中的应用593

第3节 思维定势与综合题解析596

一、思维定势596

二、综合题解析596

习题三599

第四章 大数定律和中心极限定理604

第1节 重要概念、定理和公式的剖析604

一、切比雪夫不等式604

二、中心极限定理604

三、重要公式与结论605

四、注意605

第2节 重要题型的解题方法和技巧605

题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题605

题型二 有关中心极限定理的命题607

习题四610

第五章 数理统计的基本概念611

第1节 重要概念、定理和公式的剖析611

一、几个基本概念611

二、三个抽样分布——x2分布、t分布与F分布612

三、正态总体下常用统计量的性质612

四、重要公式与结论613

五、经验分布函数613

第2节 重要题型的解题方法和技巧614

题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量614

题型二 求统计量的分布615

第3节 思维定势617

习题五618

第六章 参数估计620

第1节 重要概念、定理和公式的剖析620

一、矩估计与最大似然估计620

二、估计量的评选标准621

三、区间估计622

四、重要公式与结论624

第2节 重要题型的解题方法和技巧624

题型一 求矩估计和最大似然估计624

题型二 评价估计的优劣628

题型三 区间估计或置信区间的命题629

习题六632

第七章 假设检验635

第1节 重要概念、定理和公式的剖析635

一、显著性检验的基本思想635

二、假设检验的基本步骤635

三、两类错误635

四、正态总体未知参数的假设检验636

五、假设检验与区间估计的联系637

第2节 重要题型的解题方法和技巧637

题型一 正态总体的均值和方差的假设检验637

题型二 有关两类错误的命题638

习题七639

附录 课后习题答案详解641

第一篇 高等数学641

第一章 函数、极限和连续641

第二章 导数与微分645

第三章 不定积分649

第四章 定积分及反常积分656

第五章 微分中值定理659

第六章 常微分方程662

第七章 一元微积分的应用668

第八章 无穷级数673

第九章 矢量代数与空间解析几何679

第十章 多元函数微分学682

第十一章 重积分686

第十二章 曲线、曲面积分及场论初步695

第十三章 函数方程与不等式证明697

第二篇 线性代数701

第一章 行列式701

第二章 矩阵703

第三章 向量711

第四章 线性方程组716

第五章 特征值和特征向量724

第六章 二次型732

第三篇 概率论与数理统计736

第一章 随机事件和概率736

第二章 随机变量及其分布739

第三章 随机变量的数字特征750

第四章 大数定律和中心极限定理756

第五章 数理统计的基本概念757

第六章 参数估计760

第七章 假设检验764