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第一部分 高等数学3

第一章 函数 极限 连续3

大纲解读3

考试内容3

考试要求3

大纲知识点精解3

1函数3

考点梳理3

一、基本概念3

二、重要性质、公式与结论6

例题解析7

题型一 求函数的定义域与函数表达式7

题型二 函数的性质8

2极限9

考点梳理9

一、基本概念9

二、重要性质、公式与结论11

例题解析14

题型一 求函数极限14

题型二 求数列极限19

题型三 无穷小的比较22

题型四 已知极限或无穷小求待定参数24

3函数的连续与间断25

考点梳理25

一、基本概念25

二、重要性质、公式与结论26

例题解析27

题型一 初等函数和抽象函数的连续与间断27

题型二 分段函数的连续性28

题型三 由极限定义的函数的连续性29

题型四 连续函数的零点问题30

题型五 综合题31

第二章 一元函数微分学36

大纲解读36

考试内容36

考试要求36

大纲知识点精解37

1导数与微分37

考点梳理37

一、基本概念37

二、重要性质、公式与结论38

例题解析38

题型一 利用导数与微分的定义解题38

题型二 可微、可导、连续与极限的关系41

题型三 导数的物理、几何应用41

2导数的计算42

考点梳理42

重要性质、公式与结论42

例题解析44

题型一 利用导数公式与运算法则求导44

题型二 求分段函数导数或微分45

题型三 幂指函数的导数或微分46

题型四 由参数方程确定的函数的导数47

题型五 隐函数求导47

题型六求n阶导数47

3利用导数研究函数性态49

考点梳理49

一、基本概念49

二、重要定理、性质、公式50

例题解析51

题型一 求曲率与曲率半径51

题型二 利用导数讨论函数单调性、极值与最值52

题型三 函数的凹凸性与拐点53

题型四 求曲线的切线、法线和渐近线55

题型五 综合题56

4微分中值定理、零点问题与不等式证明58

考点梳理58

重要性质、公式与结论58

例题解析60

题型一 函数零点的存在性与个数问题60

题型二 证明项中包含ξ，f（ξ），f′（ξ)，…的问题62

题型三 拉格朗日中值定理与带拉格朗日余项的泰勒公式及其应用64

题型四 证明项中包含ξ，η，f（ξ），f（η)，f′（ξ)，f′（η)的问题65

题型五 不等式证明66

第三章 一元函数积分学73

大纲解读73

考试内容73

考试要求73

大纲知识点精解73

1不定积分和定积分的概念与性质73

考点梳理73

一、基本概念73

二、重要性质、公式与结论74

例题解析76

2不定积分与定积分的计算78

考点梳理78

重要性质、公式与结论78

例题解析80

题型一 有理函数的积分80

题型二 无理函数的积分80

题型三 三角相关函数的积分81

题型四 乘积的混合式积分83

题型五 分段函数与绝对值函数的积分85

题型六 变限积分问题86

3反常积分88

考点梳理88

一、基本概念88

二、重要性质、公式与结论89

例题解析91

题型一 反常积分的计算91

题型二 判定反常积分的敛散性92

4定积分的应用93

考点梳理93

重要性质、公式与结论93

例题解析95

题型一 几何应用95

题型二 物理应用98

5定积分的证明题99

例题解析99

题型一 等式的证明99

题型二 不等式的证明100

第四章 向量代数和空间解析几何113

大纲解读113

考试内容113

考试要求113

大纲知识点精解113

1向量代数113

考点梳理113

一、基本概念113

二、重要性质、公式与结论115

例题解析115

2空间平面方程与空间直线方程116

考点梳理116

一、基本概念116

二、重要性质、公式与结论117

例题解析119

题型一 求空间的平面方程119

题型二 求空间的直线方程120

题型三点、直线、平面间的关系121

3空间曲面方程与空间曲线方程122

考点梳理122

一、基本概念122

二、重要性质、公式与结论123

例题解析123

题型一 旋转面与柱面方程123

题型二 投影方程124

第五章 多元函数微分学128

大纲解读128

考试内容128

考试要求128

大纲知识点精解128

1多元函数的极限与连续性128

考点梳理128

一、基本概念128

二、重要性质、公式与结论129

例题解析130

题型一 二元函数的概念130

题型二 二元函数的极限130

2偏导数与全微分131

考点梳理131

一、基本概念131

二、重要性质、公式与结论132

例题解析132

题型一 简单的二元函数偏导数与微分计算132

题型二 二元函数连续、可偏导、可微的关系134

3多元函数求导法则137

考点梳理137

重要性质、定理、公式137

例题解析138

题型一 求复合函数的偏导数与全微分138

题型二 求隐函数的偏导数与全微分142

4多元函数微分学的几何应用146

考点梳理146

一、基本概念146

二、重要的性质、定理、公式147

例题解析148

题型一 空间曲线与空间曲面148

题型二 求方向导数与梯度149

5多元函数的极值与最值150

考点梳理150

一、基本概念150

二、重要的性质、定理、公式150

例题解析151

题型一 求解多元函数的无条件极值151

题型二 求解多元函数的条件极值154

题型三 求解多元函数的最值155

第六章 多元函数积分学165

大纲解读165

考试内容165

考试要求165

大纲知识点精解165

1二重积分165

考点梳理165

一、基本概念165

二、重要性质、公式与结论166

例题解析169

题型一 二重积分的概念和性质169

题型二 直角坐标和极坐标下二重积分的计算169

题型三 二次积分交换积分次序175

题型四 利用对称性计算二重积分177

2三重积分180

考点梳理180

一、基本概念180

二、重要性质、公式与结论180

例题解析183

题型一 直角坐标系下三重积分的计算183

题型二 柱坐标系下三重积分的计算183

题型三 球坐标系下三重积分的计算184

3曲线积分185

考点梳理185

一、基本概念185

二、重要性质、公式与结论186

例题解析188

题型一 第一类曲线积分188

题型二 第二类曲线积分与格林公式的应用190

4曲面积分193

考点梳理193

一、基本概念193

二、重要性质、公式与结论194

例题解析196

题型一 第一类曲面积分196

题型二 第二类曲面积分与高斯公式的应用198

题型三 斯托克斯公式的应用201

5散度与旋度202

考点梳理202

基本概念202

例题解析203

6多元函数积分学的几何、物理应用203

重要的定理、公式、性质203

例题解析204

题型一 几何应用204

题型二 物理应用205

第七章 无穷级数214

大纲解读214

考试内容214

考试要求214

大纲知识点精解215

1常数项级数及其敛散性215

考点梳理215

一、基本概念215

二、重要性质、公式与结论216

例题解析218

题型一 级数的概念与敛散性218

题型二 正向级数的敛散性判定219

题型三 交错级数的敛散性判定221

题型四 任意项级数的敛散性判定222

2幂级数223

考点梳理223

一、基本概念223

二、重要性质、公式与结论223

例题解析225

题型一 幂级数的收敛区间与收敛域225

题型二 幂级数与常数项级数求和228

题型三 函数的幂级数展开式231

3傅里叶级数234

考点梳理234

一、基本概念234

二、重要性质、公式与结论235

例题解析236

题型一 函数的傅里叶级数展开236

题型二 傅里叶级数的收敛性237

第八章 微分方程244

大纲解读244

考试内容244

考试要求244

大纲知识点精解244

1一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程的解法244

考点梳理244

一、基本概念244

二、重要定理、性质与公式245

例题解析247

题型一 变量可分离的方程与齐次方程的求解247

题型二 一阶线性方程与伯努利方程的求解248

题型三 全微分的求解250

题型四可降解的高阶微分方程的求解252

2高阶线性微分方程254

考点梳理254

一、基本概念254

二、重要定理、性质与公式254

例题解析256

题型一 高阶线性微分方程解的结构、性质与判定256

题型二 求解二阶线性微分方程257

题型三 求解欧拉方程258

3微分方程的应用259

考点梳理259

重要定理、性质与公式259

例题解析259

第二部分 线性代数271

第一章 行列式271

大纲解读271

考试内容271

考试要求271

大纲知识点精解271

考点梳理271

一、基本概念271

二、重要性质、公式与结论272

例题解析274

题型一 行列式的概念及性质274

题型二 数字型行列式的计算276

题型三 抽象行列式的计算280

题型四 有关|A|=0的证明281

第二章 矩阵285

大纲解读285

考试内容285

考试要求285

大纲知识点精解285

1矩阵的概念及运算285

考点梳理285

一、基本概念285

二、重要性质、公式与结论287

2可逆矩阵与伴随矩阵288

考点梳理288

一、基本概念288

二、重要性质、公式与结论288

3矩阵的初等变换290

考点梳理290

一、基本概念290

二、重要性质、公式与结论290

4分块矩阵291

考点梳理291

一、基本概念291

二、重要性质、公式与结论291

例题解析292

题型一 矩阵的概念及运算292

题型二 求方阵的幂293

题型三 矩阵可逆的判定及逆矩阵的计算296

题型四 伴随矩阵298

题型五 矩阵的初等变换300

题型六 分块矩阵301

题型七 求解矩阵方程303

第三章 向量311

大纲解读311

考试内容311

考试要求311

大纲知识点精解311

1向量与向量组的线性相关性311

考点梳理311

一、基本概念311

二、重要定理、性质、公式312

例题解析313

题型一 线性相关性的判别与证明313

题型二 向量与向量组的线性表出316

2极大线性无关组与向量组的秩320

考点梳理320

一、基本概念320

二、重要定理、性质、公式320

例题解析321

题型一 矩阵的秩321

题型二 向量组的秩与极大线性无关组322

题型三 向量组的等价324

3向量空间326

考点梳理326

一、基本概念326

二、重要定理、性质、公式327

例题解析328

题型一 向量空间的基本概念328

题型二 过渡矩阵与坐标变换329

题型三 正交矩阵与正交化331

第四章 线性方程组337

大纲解读337

考试内容337

考试要求337

大纲知识点精解337

1齐次线性方程组337

考点梳理337

一、基本概念337

二、重要性质、公式与结论338

2非齐次线性方程组340

考点梳理340

一、基本概念340

二、重要性质、公式与结论340

例题解析341

题型一 线性方程组解的判定、性质与结构341

题型二 求解齐次线性方程组345

题型三 求解非齐次线性方程组348

题型四 两方程组的公共解与同解问题357

第五章 矩阵的特征值和特征向量365

大纲解读365

考试内容365

考试要求365

大纲知识点精解365

1特征值与特征向量365

考点梳理365

一、基本概念365

二、重要性质、公式与结论366

例题解析367

题型一 求数字型矩阵的特征值与特征向量367

题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量370

题型三 特征值与特征向量的逆问题372

题型四 有关特征值与特征向量的证明题374

2相似矩阵及矩阵的相似对角化376

考点梳理376

一、基本概念376

二、重要性质、公式与结论376

例题解析377

题型一 相似矩阵的性质及其判定377

题型二 方阵的对角化问题380

3实对称矩阵及其相似对角化384

考点梳理384

一、基本概念384

二、重要性质、公式与结论384

例题解析385

题型一 实对称矩阵的性质385

题型二 实对称矩阵的对角化390

第六章 二次型397

大纲解读397

考试内容397

考试要求397

大纲知识点精解397

1二次型的定义、矩阵表示397

考点梳理397

基本概念397

2化二次型为标准形和规范形398

考点梳理398

一、基本概念398

二、重要性质、公式与结论399

3合同矩阵400

考点梳理400

一、基本概念400

二、重要性质、公式与结论400

4正定二次型与正定矩阵400

考点梳理400

一、基本概念400

二、重要性质、公式与结论400

例题解析401

题型一 二次型的基本概念401

题型二 线性变换403

题型三 化二次型为标准形和规范形404

题型四 矩阵的合同410

题型五 正定二次型与正定矩阵的判定与证明412

第三部分 概率论与数理统计421

第一章 随机事件和概率421

大纲解读421

考试内容421

考试要求421

大纲知识点精解421

1随机事件的关系与运算421

考点梳理421

一、基本概念421

二、重要定理、性质与公式422

例题解析423

2随机事件的概率425

考点梳理425

一、基本概念425

二、重要定理、性质与公式426

例题解析426

题型一 概率的基本性质426

题型二 古典概型与几何概型428

题型三 条件概率429

题型四 全概率公式与贝叶斯公式430

3事件的独立性与独立重复试验432

考点梳理432

一、基本概念432

二、重要定理、性质与公式433

例题解析433

题型一 事件的独立性433

题型二 伯努利概型435

第二章 随机变量及其分布439

大纲解读439

考试内容439

考试要求439

大纲知识点精解439

1随机变量及其分布函数439

考点梳理439

一、基本概念439

二、重要定理、性质与公式440

例题解析440

2离散型与连续型随机变量443

考点梳理443

一、基本概念443

二、重要定理、性质与公式443

例题解析446

题型一 离散型随机变量及其分布律446

题型二 连续型随机变量及其概率密度447

题型三 随机变量的常见分布449

3随机变量函数的分布451

考点梳理451

例题解析452

第三章 多维随机变量及其分布459

大纲解读459

考试内容459

考试要求459

大纲知识点精解459

1二维随机变量及其分布459

考点梳理459

一、基本概念459

二、重要性质、公式与结论461

例题解析462

题型一 离散型随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布462

题型二 连续型随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布465

2 二维随机变量的独立性468

考点梳理468

一、基本概念468

二、重要性质、公式与结论469

例题解析469

3二维均匀分布与二维正态分布472

考点梳理472

一、基本概念472

二、重要性质、公式与结论472

例题解析473

4随机变量函数的分布476

考点梳理476

一、基本概念476

二、重要性质、公式与结论476

例题解析478

第四章 随机变量的数字特征491

大纲解读491

考试内容491

考试要求491

大纲知识点精解491

1随机变量的数学期望和方差491

考点梳理491

一、基本概念491

二、重要性质、公式与结论492

例题解析493

题型一 随机变量期望与方差的概念与计算493

题型二 随机变量函数的期望与方差497

题型三 几种常见分布的期望与方差501

2协方差与相关系数503

考点梳理503

一、基本概念503

二、重要性质、公式与结论504

例题解析505

题型一 协方差与相关系数的计算505

题型二 相关性与独立性的判定508

3随机变量的矩511

考点梳理511

基本概念511

例题解析511

第五章 大数定律与中心极限定理515

大纲解读515

考试内容515

考试要求515

大纲知识点精解515

1大数定律515

考点梳理515

重要性质、公式与结论515

2中心极限定理516

考点梳理516

重要性质、公式与结论516

例题解析517

题型一 切比雪夫不等式与大数定律517

题型二 中心极限定理519

第六章 数理统计的基本概念525

大纲解读525

考试内容525

考试要求525

大纲知识点精解525

1随机样本525

考点梳理525

一、基本概念525

二、重要性质、公式与结论526

2统计量及其分布526

考点梳理526

一、基本概念526

二、重要性质、公式与结论526

例题解析530

题型一 统计量及其数字特征530

题型二 统计量的分布535

第七章 参数估计541

大纲解读541

考试内容541

考试要求541

大纲知识点精解541

1点估计与估计量的评价标准541

考点梳理541

一、基本概念541

二、重要定理、性质与公式542

例题解析543

题型一 矩估计和最大似然估计543

题型二 估计量的评价标准546

2区间估计551

考点梳理551

一、基本概念551

二、重要定理、性质与公式551

例题解析552

第八章 假设检验556

大纲解读556

考试内容556

考试要求556

大纲知识点精解556

考点梳理556

一、基本概念556

二、重要性质、公式与结论557

例题解析557

后记560