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第1章 数学应用与模型概述1

1.1 数学应用认知1

1.1.1 数学应用促进数学发展2

1.1.2 数学是科学的得力助手3

1.1.3 数学应用是社会发展的加速器4

1.1.4 应公正地看待数学应用6

1.2 数学模型和数学建模7

1.2.1 数学模型认知7

1.2.2 数学建模的一般过程10

1.2.3 数学模型方法13

1.2.4 数学建模与数学应用题13

1.3 数学模型的学习建议15

1.3.1 提高应用数学修养15

1.3.2 养成开放的思维方式15

思考与练习116

第2章 初等代数模型18

2.1 初等方程模型18

2.1.1 电阻测量问题18

2.1.2 行程问题19

2.1.3 投入产出问题21

2.2 初等函数模型23

2.2.1 价格竞争问题23

2.2.2 红绿灯问题25

2.2.3 销售收入问题26

2.2.4 双煎饼问题27

2.2.5 椅子着地问题30

2.3 初等不等式模型32

2.3.1 糖水浓度问题32

2.3.2 水桶排序问题33

2.3.3 投掷训练问题34

2.3.4 衣服漂洗问题36

2.3.5 席位分配问题37

2.4 线性规划模型41

2.4.1 安排生产问题42

2.4.2 下料问题45

2.4.3 指派和分配问题46

2.5 数列模型49

2.5.1 银行贷款问题49

2.5.2 掌握程度问题51

2.5.3 兔子繁殖问题52

2.5.4 需求变化问题57

2.5.5 人口增长问题59

思考与练习263

第3章 初等几何模型67

3.1 测量问题67

3.1.1 经典测量问题67

3.1.2 高程测量问题70

3.1.3 球面测量基本问题73

3.2 等周问题74

3.2.1 等周定理的发现75

3.2.2 等周定理的证明76

3.2.3 等周定理的应用78

3.2.4 故事中的等周问题79

3.3 最优柱体问题81

3.3.1 最优柱体的形状与大小81

3.3.2 最优柱体的制作84

3.3.3 易拉罐的形状86

3.4 费马点问题88

3.4.1 一般费马点问题88

3.4.2 特殊费马点问题89

3.4.3 光最短路径问题94

3.4.4 运输优化问题95

3.4.5 米勒问题97

3.5 镶嵌问题99

3.5.1 平面均匀镶嵌99

3.5.2 多边形平面镶嵌101

3.5.3 空间中的镶嵌102

3.5.4 足球的制作104

思考与练习3105

第4章 初等组合与概率统计模型107

4.1 计数模型107

4.1.1 排列组合问题107

4.1.2 递归计数110

4.1.3 错装信封问题111

4.1.4 打包问题114

4.2 称重问题118

4.2.1 求砝码个数118

4.2.2 称出假珍珠119

4.3 几何概率问题120

4.3.1 几何概率概述121

4.3.2 游泳方向问题122

4.4 数据建模123

4.4.1 角定性数据建模124

4.4.2 最小二乘法125

4.4.3 容器中水的深度问题127

4.5 常见统计思想方法130

4.5.1 估计的基本思想130

4.5.2 检验的基本思想132

4.5.3 蒙特卡罗方法134

4.5.4 聚类分析法136

思考与练习4139

第5章 初等数论模型143

5.1 整除及其应用143

5.1.1 整除概念143

5.1.2 辗转相除法144

5.2 不定方程及其应用145

5.2.1 百钱百鸡问题145

5.2.2 猴子分桃问题146

5.2.3 砝码个数问题149

5.2.4 正方分割问题150

5.3 中国剩余定理及其应用152

5.3.1 同余概念152

5.3.2 物不知数153

5.3.3 中国剩余定理154

5.3.4 应用举例157

5.4 连分数及其应用158

5.4.1 连分数与渐近分数158

5.4.2 连分数在天文学中的应用160

5.4.3 连分数的三大奇妙之处163

5.5 简单的密码问题164

5.5.1 保密通信概述164

5.5.2 仿射加密方法165

5.5.3 公开密钥体制167

思考与练习5173

第6章 初等数学模型常用方法175

6.1 比例分析法175

6.1.1 面积估算问题175

6.1.2 军事机密的泄露176

6.1.3 云雾和人工降雨的奥秘177

6.1.4 牙膏定价问题178

6.2 图上优化法180

6.2.1 七桥问题及其应用180

6.2.2 旅行售货员问题184

6.2.3 最小树模型187

6.2.4 最短路模型191

6.2.5 统筹方法193

6.3 层次分析法195

6.3.1 层次分析法的基本步骤195

6.3.2 一致性检验198

6.3.3 选择住宅问题200

6.4 单因素优选法203

6.4.1 黄金分割法203

6.4.2 分数法207

6.4.3 对分法208

6.5 正交试验设计209

6.5.1 正交设计表210

6.5.2 正交试验设计的基本思想211

思考与练习6213

附录：部分思考与练习题答案218

参考文献225