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目录1

绪论1

0.1 数学的发展概况1

0.2 高等数学的基本内容和思想方法2

0.3 学习高等数学过程中应该注意的一些问题6

第一章 函数与极限7

1.1 函数的概念及其初等性质7

1.1.1 集合7

1.1.2 常量 变量 函数10

1.1.3 函数的初等性质14

1.1.4 函数的初等运算17

1.1.5 基本初等函数与初等函数20

1.1.6 函数关系的建立25

习题1.128

1.2 数列极限30

1.2.1 数列的概念30

1.2.2 数列极限的概念31

1.2.3 收敛数列的性质33

1.2.4 数列收敛的判别法35

习题1.238

1.3 函数极限39

1.3.1 函数极限的概念39

1.3.2 函数极限的性质45

1.3.3 收敛判别法与两个重要极限47

习题1.351

1.4 无穷小与无穷大52

1.4.1 无穷小及其性质52

1.4.2 无穷小阶的比较54

1.4.3 无穷大及其性质56

习题1.457

1.5 函数的连续性58

1.5.1 函数的连续与间断58

1.5.2 连续函数的运算61

1.5.3 函数的一致连续性63

习题1.564

1.6 闭区间上连续函数的性质65

习题1.668

复习题69

总习题一70

选读 经济学中常用函数71

数学家小传73

第二章 一元函数的导数与微分76

2.1 导数的概念76

2.1.1 导数概念的实例76

2.1.2 导数定义78

2.1.3 导数意义的解释79

2.1.4 导函数、函数的求导举例80

2.1.5 可导与连续的关系 可导的充分必要条件81

习题2.184

2.2 导数的计算85

2.2.1 导数的四则运算86

2.2.2 反函数的导数87

2.2.3 复合函数的求导法则88

2.2.4 初等函数的求导90

习题2.292

2.3 高阶导数93

2.3.1 高阶导数的概念93

2.3.2 高阶导数的计算94

2.3.3 高阶导数的运算法则95

习题2.397

2.4 几种类型函数的求导方法97

2.4.1 隐函数的求导法97

2.4.2 对数求导法99

2.4.3 参数方程所确定的函数的导数101

2.4.4 相关变化率103

习题2.4104

2.5 函数的微分与线性逼近105

2.5.1 微分的概念105

2.5.2 微分的几何意义107

2.5.3 微分的计算108

2.5.4 函数的一阶线性逼近110

习题2.5113

复习题二113

总习题二114

选读 导数在经济分析中的应用（Ⅰ）：边际与弹性116

数学家小传118

3.1.1 费尔马引理120

第三章 微分中值定理与导数的应用120

3.1 微分中值定理120

3.1.2 罗尔中值定理121

3.1.3 拉格朗日中值定理122

3.1.4 柯西中值定理125

习题3.1126

3.2 洛必达法则127

3.2.1 ？型未定式的洛必达法则127

3.2.2 ？型未定式的洛必达法则129

3.2.3 其他类型的未定式130

3.3 泰勒公式与函数的高阶多项式逼近133

3.3.1 泰勒公式133

习题3.2133

3.3.2 函数的高阶多项式逼近136

习题3.3139

3.4 函数的单调性与凸性139

3.4.1 函数的单调性的判别法139

3.4.2 函数凸性的判别法143

习题3.4146

3.5 函数极值与最值的求法146

3.5.1 函数极值的判别法146

3.5.2 函数的最值的计算150

习题3.5152

3.6 弧微分 曲率 函数作图153

3.6.1 弧微分153

3.6.2 曲率及其计算154

3.6.3 函数的终极态模型和曲线的渐近线157

3.6.4 函数图形的描绘160

习题3.6162

复习题三163

总习题三163

选读 导数在经济分析中的应用（Ⅱ）：管理与决策165

数学家小传168

第四章 不定积分170

4.1 不定积分的概念与性质170

4.1.1 原函数170

4.1.2 不定积分171

4.1.3 不定积分的性质172

4.1.4 基本积分公式173

习题4.1176

4.2 换元积分法177

4.2.1 第一类换元法177

4.2.2 第二类换元法182

习题4.2187

4.3 分部积分法189

习题4.3193

4.4 特殊类型函数的积分法194

4.4.1 有理函数的积分194

4.4.2 三角函数有理式的积分198

4.4.3 简单无理函数的积分199

4.4.4 积分表的使用201

习题4.4203

复习题四204

总习题四205

选读 函数迭代与混沌207

第五章 定积分及其应用211

5.1 定积分的概念与性质211

5.1.1 定积分问题的提出211

5.1.2 定积分的定义214

5.1.3 定积分的性质218

习题5.1222

5.2 微积分基本公式223

5.2.1 变上限的定积分223

5.2.2 变上限的定积分的性质225

5.2.3 牛顿-莱布尼兹公式226

习题5.2230

5.3 定积分的计算233

5.3.1 换元法233

5.3.2 分部积分法237

5.3.3 近似计算239

习题5.3244

5.4 广义积分245

5.4.1 无穷限的广义积分245

5.4.2 无界函数的广义积分249

5.4.3 Γ函数252

习题5.4253

5.5 定积分在几何上的应用254

5.5.1 建立定积分数学模型的微元法255

5.5.2 平面图形的面积256

5.5.3 体积261

5.5.4 平面曲线的弧长266

5.5.5 旋转体的侧面积268

习题5.5270

5.6 定积分在物理上的应用271

5.6.1 变力作功271

5.6.2 水压力274

5.6.3 引力275

5.6.4 平均值277

习题5.6279

复习题五279

总习题五281

选读积分学在经济分析中的应用：总量与贴现284

数学家小传286

第六章 微分方程与差分方程初步288

6.1 微分方程的基本概念288

习题6.1292

6.2 一阶微分方程292

6.2.1 可分离变量方程293

6.2.2 齐次方程294

6.2.3 一阶线性微分方程297

6.2.4 伯努里方程299

6.2.5 黎卡提方程与初值问题解的存在唯一性300

习题6.2301

6.3 可降阶的二阶微分方程302

6.3.1 y″=f（x）型方程303

6.3.2 y″=f（x,y′）型方程303

6.3.3 y″=f（y,y′）型方程304

习题6.3306

6.4 二阶线性微分方程306

6.4.1 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构307

6.4.2 二阶线性非齐次方程的常数变易法308

6.4.3 二阶常系数线性齐次方程的解法309

6.4.4 二阶常系数线性非齐次方程的解法311

习题6.4315

6.5 微分方程的应用举例316

6.6.1 差分方程的一般概念327

6.6 简单差分方程及其应用327

习题6.5327

6.6.2 一阶和二阶常系数线性差分方程的解法329

6.6.3 差分方程的应用333

习题6.6335

复习题六336

总习题六337

选读 文物年代的鉴定339

数学家小传340

附录Ⅰ 高等数学常用数学名词英文注释342

附录Ⅱ 几种常用的曲线346

附录Ⅲ 积分表349

习题答案357