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第1章 行列式1

1.1 n阶行列式的定义1

1.1.1二阶行列式与三阶行列式1

1.1.2排列4

1.1.3 n阶行列式的定义6

1.2行列式的性质及应用10

1.2.1行列式的性质10

1.2.2用性质计算行列式的例题14

1.3行列式的展开定理17

1.3.1行列式的展开公式17

1.3.2利用展开公式计算行列式的例题20

1.4克拉默法则26

1.4.1克拉默法则26

1.4.2克拉默法则的应用28

习题1.30

第2章 矩阵37

2.1解线性方程组的高斯消元法37

2.1.1线性方程组37

2.1.2高斯消元法40

2.1.3齐次线性方程组43

2.2矩阵及其运算44

2.2.1矩阵的概念44

2.2.2矩阵的代数运算47

2.2.3矩阵的转置52

2.3逆矩阵54

2.3.1方阵乘积的行列式54

2.3.2逆矩阵的概念与性质55

2.3.3矩阵可逆的条件58

2.4分块矩阵61

2.5矩阵的初等变换65

2.5.1矩阵的初等变换和初等矩阵66

2.5.2矩阵的相抵和相抵标准形67

2.5.3用初等变换求逆矩阵69

2.5.4分块矩阵的初等变换71

习题2.74

第3章 几何空间中的向量80

3.1向量及其运算80

3.1.1向量的基本概念80

3.1.2向量的线性运算81

3.1.3共线向量、共面向量83

3.2仿射坐标系与直角坐标系86

3.2.1仿射坐标系86

3.2.2用坐标进行向量运算88

3.2.3向量共线、共面的条件91

3.2.4空间直角坐标系91

3.3向量的数量积、向量积与混合积93

3.3.1数量积及其应用93

3.3.2向量积及其应用97

3.3.3混合积及其应用100

3.4平面与直线102

3.4.1平面方程102

3.4.2两个平面的位置关系104

3.4.3直线方程105

3.4.4两条直线的位置关系106

3.4.5直线与平面的位置关系108

3.5距离109

3.5.1平面的法方程109

3.5.2点到直线的距离110

3.5.3异面直线的距离110

习题3.111

第4章 向量空间Rn115

4.1向量空间Rn115

4.1.1 n维向量及其运算115

4.1.2向量空间Rn116

4.2向量组的线性相关性118

4.2.1线性相关的概念118

4.2.2线性相关、线性无关的进一步讨论120

4.3向量组的秩123

4.3.1向量组的线性表出123

4.3.2极大线性无关组125

4.3.3向量组的秩126

4.4矩阵的秩127

4.4.1矩阵秩的概念128

4.4.2矩阵秩的计算129

4.4.3矩阵的秩与向量组的秩的关系132

4.4.4秩的性质134

4.5齐次线性方程组136

4.5.1齐次线性方程组有非零解的充要条件136

4.5.2基础解系137

4.6非齐次线性方程组142

4.6.1非齐次线性方程组有解的条件142

4.6.2非齐次线性方程组解的结构143

习题4.146

第5章 线性空间150

5.1线性空间150

5.1.1数域150

5.1.2线性空间的定义151

5.1.3线性相关与线性无关153

5.1.4基、维数和坐标154

5.1.5过渡矩阵与坐标变换156

5.2线性子空间159

5.2.1线性子空间159

5.2.2子空间的交与和162

5.2.3子空间的直和165

5.3线性空间的同构167

5.4欧几里得空间170

5.4.1内积170

5.4.2标准正交基173

5.4.3施密特正交化175

5.4.4正交矩阵177

5.4.5可逆矩阵的QR分解178

5.4.6正交补与直和分解180

5.5商空间182

习题5.186

第6章 线性变换190

6.1线性变换的定义和运算190

6.1.1线性变换的定义和基本性质190

6.1.2线性变换的运算193

6.2线性变换的矩阵195

6.2.1线性变换在一组基下的矩阵195

6.2.2线性变换与矩阵的一一对应关系197

6.2.3线性变换的乘积与矩阵乘积之间的对应200

6.3线性变换的核与值域200

6.3.1核与值域200

6.3.2不变子空间205

6.4特征值与特征向量207

6.4.1特征值与特征向量的定义与性质208

6.4.2特征值与特征向量的计算210

6.4.3特征多项式的基本性质214

6.5相似矩阵217

6.5.1线性变换在不同基下的矩阵217

6.5.2矩阵的相似218

6.5.3相似矩阵的性质219

6.5.4实对称矩阵和对角矩阵相似222

习题6.225

第7章 二次型与二次曲面230

7.1二次型230

7.1.1二次型的定义230

7.1.2矩阵的相合232

7.2二次型的标准形233

7.2.1主轴化方法234

7.2.2配方法235

7.2.3矩阵的初等变换法239

7.3惯性定理和二次型的规范形243

7.4实二次型的正定性245

7.5曲面与方程250

7.5.1球面方程251

7.5.2母线与坐标轴平行的柱面方程252

7.5.3绕坐标轴旋转的旋转面方程253

7.5.4空间曲线的方程254

7.6二次曲面的分类255

7.6.1椭球面256

7.6.2单叶双曲面256

7.6.3双叶双曲面257

7.6.4锥面258

7.6.5椭圆抛物面258

7.6.6双曲抛物面258

7.6.7一般二次方程的化简259

习题7.261

习题提示与答案265

索引280